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3 Schnittpunkte berechnen: Hyperbell mit Parabel

Schüler Berufsfachschulen,

Tags: Gleichsetzten, Schnittpunkt

Matze9 aktiv_icon

14:06 Uhr, 02.04.2016

Hallo Leute,

ich frage mich gerade wie man die Schnittpunkte von einer Hyperbel mit einer Parabel berechnet, da dabei ja 3 Schnittpunkte vorkommen können. Bei den Schnittpunkten von einer Geraden und einer Parabel nimmt man ja die Mitternachtsformel oder Satz des Nullprodukts.

Mein Bespiel mit dem ich bis jetzt herumprobiert habe:

Parabel:

y = x^{2} - 4

Hyperbel:

y = \frac{1}{x}

Zuerst hab ichs mit gleichsetzen versucht:

\frac{1}{x} = x^{2} - 4 | \cdot x

0 = x (x^{2} - 4)

0 = x^{3} - 4 x

Anschließend:

Versuch mit Satz des Nullprodukts:

0 = x (x^{2} - 4)

x 1 = 0

x 2 : 0 = x^{2} - 4

x 2 = 2

Versuch mit Mitternachtsformel:

Ich habe eine Gleichung mit

x^{3}

und ich hab keine Ahnung wie ich auf 3 verschieden

x

Werte kommen soll.
Ich hab mir da ein Video angekuckt: www.youtube.com/watch?v=b25InOh-AUk

Dann hab ich es mit "der alten Hochzahl vorziehen und oben um eins kleiner machen" aus dem Video probiert

0 = x^{3} + 0 x^{2} - 4 x + 0

0 = 3 x^{2} + 0 x - 4

0 = 3 x^{2} - 4

Immer noch das Problem: Mit der Mitternachtsformel komm ich nur auf 2 x-Ergebnisse

Nun die Frage: Wie komme ich zu den 3 Ergebnissen? Gibt es vielleicht eine Mitternachtsformel 3.Grades oder so? Würde mich brennend interessieren.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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14:14 Uhr, 02.04.2016

x^{2} - 4 = 0

x^{2} = 4

x = \sqrt{4}

x = \pm 2

x_{2} = 2

x_{3} = - 2

Matze9 aktiv_icon

14:38 Uhr, 02.04.2016

Das sind doch nur die 2 Schnittpunkte der Parabel mit der

x

Achse oder nicht?

Yokozuna aktiv_icon

14:57 Uhr, 02.04.2016

Hallo,

also wenn man

\frac{1}{x} = x^{2} - 4

mit

x

multipliziert, dann steht da auf der linken Seite nicht 0 sondern 1:

1 = x \cdot (x^{2} - 4) = x^{3} - 4 \cdot x \Leftrightarrow x^{3} - 4 \cdot x - 1 = 0

Diese Gleichung hat leider keine ganzzahligen Lösungen. Man kann die drei reellen Lösungen dieser Gleichung nur mit den Cardanischen Formeln oder mit Näherungsverfahren (Newton etc.) ermitteln.

Viele Grüße
Yokozuna

Matze9 aktiv_icon

15:02 Uhr, 02.04.2016

Vielen Dank

Über diese 1 oder 0 war ich mir auch unsicher

Yokozuna aktiv_icon

15:07 Uhr, 02.04.2016

Ich habe als Lösungen