Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » ganzrationale Funktion bestimmen

ganzrationale Funktion bestimmen

Schüler

Tags: Ganzrationale Funktionen

Machnix aktiv_icon

18:25 Uhr, 16.09.2011

Hey Leute, ich komme irgendwie nicht weiter.

Aufgabe ist: Bestimmen sie eine ganzrationale Funktion, deren Graph symmetrisch zum Ursprung ist und für die gilt:

a)

Der Graph hat eine Nullstelle bei

x = 2;

die Steigung an der Nullstelle ist 8.

Dadurch erhalte ich ja:

f (2) = 0,

f´(2)=8 und

f (0) = 0

. Aber um ax^3+bx zu erfüllen, brauch ich ja mindestens 4 Bedingungen.. wie lautet die

4 .

b)

Der Graph hat eine Nullstelle bei

x = 1,

dort hat er eine waagerechte Tangente. Im ursprung besträgt die Steigung 1.

Dadurch erhalte ich:

f (1) = 0,

f´(0)=1

, f (0) = 0

und f´(1)=0. Doch ich bekomme dann:

x^{3} + 2 x^{2} + 1 x

. Das kann ja nicht sein. Bzw. der Graph ist nicht Punktsymmetrisch zum Ursprung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michael777 aktiv_icon

18:31 Uhr, 16.09.2011

a)

neben

f (0) = 0

reichen 2 weitere Bedingungen

f (2) = 0 \Rightarrow 8 a + 2 b = 0

f' (2) = 8 \Rightarrow 12 a + b = 8

a = 1

b = - 4

f (x) = x^{3} - 4 x

b)

das müsste eine pktsym. ganzrationale Funktion 5. Grades sein
also

f (x) = a x^{5} + b x^{3} + c x

f' (x) = 5 a x^{4} + 3 b x^{2} + c

f (1) = 0 \Rightarrow a + b + c = 0

f' (0) = 1 \Rightarrow c = 1

f' (1) = 0 \Rightarrow 5 a + 3 b + c = 0

- - - - - - - - - - -

a = 1

b = - 2

c = 1

f (x) = x^{5} - 2 x^{3} + x

anonymous

17:24 Uhr, 08.04.2014

Hallo,
ich verstehe die aufgestellten Bedingungen und die Lösungen, aber die Bedingungen gehen gar nicht näher darauf ein, dass ein punktsymmetrischer Graph verlangt ist. Muss ma nicht noch Bedingungen für ie Punktsymmetrie aufstellen?

Bummerang

17:39 Uhr, 08.04.2014

Hallo,

die Bedingungen für die Punktsymmetrie stecken doch bereits im reduzierten Ansatz mit nur noch ungeraden Exponenten!

Besser ist sogar der folgende Ansatz:

a)

Nullstelle bei 0 und 2 und wegen der Punktsymmetrie auch bei

- 2

. Damit sind alle Nullstellen der ganzrationalen Funktion dritten Grades bekannt und man kann ansetzen:

f (x) = a \cdot (x - (- 2)) \cdot (x - 0) \cdot (x - 2) = a \cdot (x + 2) \cdot x \cdot (x - 2) = a \cdot x \cdot (x^{2} - 4) = a \cdot x^{3} - 4 \cdot a \cdot x

f' (x) = 3 \cdot a \cdot x^{2} - 4 \cdot a

f' (2) = 8 = 3 \cdot a \cdot 2^{2} - 4 \cdot a = 3 \cdot a \cdot 4 - 4 \cdot a = 12 \cdot a - 4 \cdot a = 8 \cdot a \Rightarrow a = 1

f (x) = x^{3} + 4 \cdot x

b)

Nullstelle bei 0 und doppelte Nullstelle bei 1 (wegen waagerechter Tangente!) und wegen der Punktsymmetrie auch doppelte Nullstelle bei

- 1

. Damit sind alle Nullstellen der ganzrationalen Funktion fünften Grades bekannt und man kann ansetzen:

f (x) = a \cdot {(x - (- 1))}^{2} \cdot (x - 0) \cdot {(x - 1)}^{2} = a \cdot {(x + 1)}^{2} \cdot x \cdot {(x - 1)}^{2} = a \cdot x \cdot {(x^{2} - 1)}^{2}

f (x) = a \cdot x \cdot (x^{4} - 2 \cdot x^{2} + 1) = a \cdot x^{5} - 2 \cdot a \cdot x^{3} + a \cdot x

f' (x) = 5 \cdot a \cdot x^{4} - 6 \cdot a \cdot x^{2} + a

f' (0) = 1 = 5 \cdot a \cdot 0^{4} - 6 \cdot a \cdot 0^{2} + a = 0 + 0 + a = a \Rightarrow a = 1

f (x) = x^{5} - 2 \cdot x^{3} + x

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1156990

917540

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?