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komplexe Polynome, Nullstellen

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Komplexe Zahlen

Tags: Funktion, Komplexe Zahlen

Chica-Rabiosa aktiv_icon

08:14 Uhr, 01.11.2012

Guten Morgen,

ich habe eine folgende Aufgabe zu lösen:

Beweisen Sie:

a)

Ist

p (z) = a_{n} \cdot z^{n} + ... + a_{1} z + a_{0}

ein komplexes Polynom mit reellen Koeffizienten und

z_{0}

eine Nullstelle dieses Polynoms, so ist auch der komplex-konjugierte Wert

z_{0}

(mit Strich drüber) eine Nullstelle des Polynoms.

b)

Bestimmen Sie alle Nullstellen des Polynoms:

p (z) = z^{4} + 3 z^{2} + 2

c)

Bestimmen Sie alle Nullstellen des Polynoms:

p (z) = z^{5} + z^{4} - 16 z - 16

a)

dem Beweis mir ist klar worum es geht, aber dabei bleibt es leider auch.

zu

b)

Versuche ich mittels Substitution zu lösen? Ist doch ein guter Weg?

zu

c)

Da wurde mir geraten die Nullstellen mit dem Horner-Schema zu lösen? gut,geht? gibt es andere Möglichkeiten

Hinweis zu

b) :

Es gilt

p (i) = 0

Schonmal vielen lieben Dank für jegliche Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

michaL aktiv_icon

09:56 Uhr, 01.11.2012

Hallo,

verwende für a) eine Zerlegung des Polynoms in Linearfaktoren, die Tatsache, dass die komplexe Konjugation gegen Summen und Produkte abgeschlossen ist und die Tatsache, dass das Polynom reell ist.

Bei b) würde ich auch tatsächlich substituieren, die Gleichung ist ja biquadratisch. Nach diesem Stichwort in Kombination mit "Gleichung", erster Treffer, da siehst du, wie das geht.

bei c) würde ich erst einmal das offensichtliche tun: "vorne" ein

z

und "hinten" die

- 16

ausklammern. Dann weiter nach "Augenmaß".

Mfg Michael

Chica-Rabiosa aktiv_icon

10:01 Uhr, 01.11.2012

"eine Zerlegung des Polynoms in Linearfaktoren, die Tatsache, dass die komplexe Konjugation gegen Summen und Produkte abgeschlossen ist und die Tatsache, dass das Polynom reell ist" in Worten und in Mathesprache würde das in etwa wie aussehen? :-)

michaL aktiv_icon

10:22 Uhr, 01.11.2012

Hallo,

jedes reelle Polynom zerfällt über

ℂ

in Linearfaktoren:
Also gibt es eine Zerlegung von

p

in Linearfaktoren:

p (z) = (z - z_{1}) (z - z_{2}) \dots (z - z_{n})

Betrachte nur reelle

z

, für die man besser

x

schreibt:

p (x) = (x - z_{1}) (x - z_{2}) \dots (x - z_{n})

Nun gilt:

\bar{p (x)} = p (\overline{x}) = p (x)

einerseits und

\bar{p (x)} = (x - \bar{z_{1}}) (x - \bar{z_{2}}) \dots (x - \bar{z_{n}})

Im Endeffekt also:

(x - z_{1}) (x - z_{2}) \dots (x - z_{n}) = (x - \bar{z_{1}}) (x - \bar{z_{2}}) \dots (x - \bar{z_{n}})

, woraus folgt, dass die konjugiert Komplexen der

z_{1}, \dots, z_{n}

unter ihnen selbst sein müssen. Also eben die Behauptung.

Mfg Michael

Chica-Rabiosa aktiv_icon

10:29 Uhr, 01.11.2012

Oki dankiii bei der

c)

meintest du vorne

z

ausklammern und hinten

- 16

wie geht das denn ? zum ausklammern brauchen wir doch in jeden Wert/Faktor ein

z

sprich

z . B

p (z) = z^{4} + z^{3} + z = z (z^{3} + z^{2} + 1)

und wir haben ja den Fall

p (z) = z^{5} + z^{4} - 16 z - 16 = z (z^{4} + z^{3} - 16 - \frac{1}{z} 16)

sowas weil bin gerade verwirrt...:(

Capricorn-01 aktiv_icon

11:01 Uhr, 01.11.2012

Ausklammern bei

c) : (z + 1) \cdot (z^{4} - 16)

Chica-Rabiosa aktiv_icon

11:05 Uhr, 01.11.2012

Also ist

- 1

eine Nullstelle ?

z^{4} - 16 = 0

z^{4} = 16

z = \sqrt[4]{16}

z 1 = - 1

z 2 = 2

z 3 = - 2

so?

Capricorn-01 aktiv_icon

11:15 Uhr, 01.11.2012

- 1

ist eine, 0 ist keine,

\pm 2

sind, was sagst Du zu

\pm 2 j

Chica-Rabiosa aktiv_icon

11:20 Uhr, 01.11.2012

sorry ich meinte mit

z 1 = - 1

und

z 2 = 2 z 3 = - 2

sind ebenfalls Nullstellen, 0 ist selbstverständlich keine hab mich verschrieben das war's doch auch bei

c),

oder?

Capricorn-01 aktiv_icon

11:32 Uhr, 01.11.2012

Was meinst Du zu den Lsg.

\pm 2 j (j =

imag. Einh.)

Chica-Rabiosa aktiv_icon

11:39 Uhr, 01.11.2012

ahsooo

j

imag. Einheit, kenn es nur als

i

okiii :-) mh weiß nicht was ich dazu meinen soll wir haben die Nullstellen gefunden und was ich dazu meine, dass es stimmt?
Hmm

i

ist ja der Im(z) also quasi "unsere" y-Achse mh ? also sind unsere Nullstellen quasi dann nur der Re(z) oder wie? Bin gerade confused:(

Capricorn-01 aktiv_icon

11:43 Uhr, 01.11.2012

z_{4} = + 2 j

z_{4}^{2} = - 4

z_{4}^{4} = 16

z_{5} = - 2 j

z_{5}^{2} = - 4

z_{5}^{4} = 16

\to

diese sind auch Lösungen zu

c)

Chica-Rabiosa aktiv_icon

12:11 Uhr, 01.11.2012

Und wie schreibe ich, es dann in der Lösung auf?

Die Nullstellen lauten:

z_{1} = - 1

z_{2} = - 2

z_{3} = 2

z_{4} = + 2 i

z_{4}^{2} = - 4

z_{4}^{4} = 16

z_{5} = - 2 i

z_{5}^{4} = 16

b)

z^{4} + 3 z^{2} + 2 = 0 \to

Sub:

z^{2} = x

und

z^{4} = x^{2} \to x^{2} + 3 x + 2 = 0 \to x_{1}, x_{2} = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \to x_{1} = - 1

und

x_{2} = - 2

z^{2} = - 1

demnach ist

z_{1} = \sqrt{-} 1

und

z_{2} = - \sqrt{-} 1

z^{2} = - 2

" "

z_{3} = \sqrt{-} 2

und

z_{4} = - \sqrt{-} 2

wir befinden uns ja in

ℂ

also sind die Nullstellen doch definiert oder ???

Capricorn-01 aktiv_icon

12:35 Uhr, 01.11.2012

c)

die Lösungen 4 und 5 sind

2 j

und

- 2 j

Den Rest habe ich nur zu Deinem Verständnis hingeschrieben, um zu zeigen, dass diese Lösungen mit 4 potenziert,

16

ergeben.

Capricorn-01 aktiv_icon

12:39 Uhr, 01.11.2012

b)

ist korrekt, Du kannst die Lösungen noch mit der imaginären Einheit darstellen.

Chica-Rabiosa aktiv_icon

12:42 Uhr, 01.11.2012

:-) danki und die Auflistung der Nullstellen in

c)

??? stimmt die so ganz??? Weil mein Übungsleiter ist sehr pingelig

: (

Capricorn-01 aktiv_icon

13:13 Uhr, 01.11.2012

Bei

c)

sind die Lösungen:

z_{1} =

−1

z_{2} = 2

z_{3} = - 2

z_{4} = 2 i

z_{5} =

−2i

1042918

1042858

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