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komplizierte Logarithmusgleichung lösen

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Tags: gleichung lösen, Logarithmus, Logarithmusfunktion, Logarithmusgleichung, Sonstig

 
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Sonnenlord

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19:44 Uhr, 06.06.2018

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Hallo, ich setze mich seit einer guten Stunde mit folgender Gleichung auseinander:

log27(x2-4)-log27((x+2)3)+log27((x+2)2)=13,x∈ℝ>2

Aber ich kann diese Gleichung nicht nach x auflösen, egal wie ich die Terme umschreibe/umforme...

Hier ist mein Ansatz



log27(x2-4)-log27((x+2)3)+log27((x+2)2)=13    | Rechenregeln für Logarithmus

⇔log27(x2-4)-log27((x+2)3⋅(x+2)2)=13    | Potenzgesetze anwenden

⇔log27(x2-4)-log27((x+2)3+2)=13

⇔log27(x2-4)-log27((x+2)5)=13    | Rechenregeln für Logarithmus

⇔log27(x2-4)-5⋅log27(x+2)=13    | Rechenregeln für Logarithmus

⇔log27(x2-45⋅log27(x+2))=13    | Definition des Logarithmus

⇔x2-45⋅log27(x+2)=2713

⇔x2-45⋅log27(x+2)=3


Aber ab hier komme ich nicht weiter, denn wenn ich weiter umforme, dann habe ich das x nicht auf einer Seite...

Die Onlinerechner sagen, dass x=5 herauskommen soll, aber ich weiß nicht wie...

kann mir da jemand helfen? Wäre echt lieb!


mfg
Till

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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pivot

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20:38 Uhr, 06.06.2018

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Hallo,

du hast die Logarithmusgesetze nicht wirklich richtig angewendet. Es gilt:

log(a)-log(b)+log(c)=log(a⋅cb)

In deinem Fall ist das dann

log27((x2-4)⋅(x+2)2(x+2)3)=⅓

Du bist bei dir schon mit der Klammersetzung durcheinander gekommen (Rechenregeln für Logarithmus).

kürzen

log27(x2-4x+2)=⅓


Edit:
Jetzt muss noch ermittelt werden, wie man ⅓ in log27(a) ausdrückt, wobei a gesucht ist. Es gilt

27⅓=3

Somit erhält man

log27(x2-4x+2)=log27(3)

Jetzt die Ausdrücke der Argumente der Logarithmusfunktionen gleichsetzen und die Lösungsmenge für x ausrechnen.

Gruß

pivot
Sonnenlord

Sonnenlord aktiv_icon

21:18 Uhr, 06.06.2018

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Hey, danke für deine Antwort!

Oh man, das war echt dämlich von mir. Ein vermeidbarer Fehler...


Ich verbessere mein Rechenweg also nochmal:

log27(x2-4)-log27((x+2)3)+log27((x+2)2)=13    | Rechenregeln für Logarithmus

⇔log27(x2-4(x+2)3)+log27((x+2)2)=13    | Rechenregeln für Logarithmus

⇔log27((x2-4)(x+2)2(x+2)3)=13    | Bruch kürzen

⇔log27(x2-4x+2)=13    | Definition des Logarithmus

⇔x2-4x+2=2713

⇔x2-4x+2=3    |⋅(x+2)

⇔x2-4=3⋅(x+2)

⇔x2-4=3x+6    |-3x

⇔x2-3x-4=6    |-6

⇔x2-3x-10=0    | Mitternachtsformel

⇒x1=5
⇒x2=-2

Dann wundere ich micg, wieso bei den Onlinerechnern nur x=5 gezeigt wird...

Aber so ist das doch richtig, oder?

Liebe Grüße
Till
Antwort
pivot

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21:22 Uhr, 06.06.2018

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Alles soweit richtig. Bedenke das der log(y) nur für y∈ℝ+ definiert ist, also ohne 0. Bei x=-2 und log(x+2) hätte man log(0).
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Respon

Respon

21:32 Uhr, 06.06.2018

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Und außerdem steht das ja bereits in der Aufgabenstellung.

Aufgabe
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anonymous

anonymous

21:42 Uhr, 06.06.2018

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Noch ein kleiner hinweis: Wenn man sieht dass x2-4 die dritte binomische Formel ist, dann kann man sich die Mitternachtsformel sparen:
x2-4x+2=(x+2)(x-2)x+2=x-2

Nachdem der log aufgelöst wurde:
x-2=3
x=5