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n-te Ableitung

Schüler

Tags: Allgemein

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18:56 Uhr, 12.03.2017

Wir haben leider noch nie so ein Beispiel gerechnet. Sollen uns das selber aneignen.
Aufgabe:
Bestimme allgemein die n-te Ableitung von

a) y = x^{n}

b) y = sin (x)

Ich habe leider keine Ahnung, wie ich da beginnen soll. Bitte um Hilfe. Vielen vielen Dank im Voraus.
LG

B

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

keinMatheGenius aktiv_icon

19:09 Uhr, 12.03.2017

Hallo B,

Zu Aufgabenteil a):

X hoch irgendwas wird immer so abgeleitet, dass der Exponent (die hohe Zahl/Variable; in unserem Falle "n") vor das x gezogen wird und dann rechnet man den Exponenten minus 1.

Hier sieht das so aus:

y = x^{n}

y ʹ = n * x^{n - 1}

.

Beispiel:

y = x^{3}

y ʹ = 3 x^{2}

.
Und so weiter.

Zu b):
Die Ableitung der Winkelfunktionen funktioniert etwas anders, kann man sich aber auch merken:

Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Die Ableitung von cos(x) ist -sin(x).

Somit ist die Ableitung von -sin(x) -cos(x) und die Ableitung von -cos(x) ist sin(x).

abakus

19:11 Uhr, 12.03.2017

"Ich habe leider keine Ahnung, wie ich da beginnen soll. "

Dir kann geholfen werden. Fange an, die erste, zweite, dritte... Ableitung zu bilden.
(Bei der Sinusfunktion sollte es schon auch die vierte noch sein.)
Das wird dir helfen, die Gesetzmäßigkeiten zu erkennen.

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19:17 Uhr, 12.03.2017

Das ist mir schon klar, das habe ich heute schon fünfzig Mal gebracuht.

y = x^{n}

y' = n \cdot x^{n - 1}

Das Ergebnis sollte lauten

y^{n} = n!

abakus

19:20 Uhr, 12.03.2017

Warum liest du keine Antworten?
Da hast dich gerade mal dazu herabgelassen, die erste Ableitung zu bilden.
Ist es zu viel verlangt, wenigstens DREIMAL abzuleiten?

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19:38 Uhr, 12.03.2017

Nein, lieber Moderator, ist es nicht. Mache ich gleich. Aber warum dreimal ableiten?

abakus

19:40 Uhr, 12.03.2017

Damit du es selbst verstehst. Ich zitiere deinen ersten Post:

"Sollen uns das selber aneignen."... "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Außerdem bin ich kein Moderator. Und vielleicht musst du nicht dreimal ableiten, weil du es schon nach der zweiten Ableitung verstanden hast.

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19:43 Uhr, 12.03.2017

Zweite Ableitung:

y'' = (n - 1) \cdot x^{n - 2}

(n - 1)

ist eine Konstante. Hoffentlich habe ich recht.

y''' = (n - 2) \cdot x^{n - 3}

abakus

19:49 Uhr, 12.03.2017

Du hast vergessen, die aus den vorherigen Ableitungen schon vorhandenen Faktoren mitzuziehen.
Die erste Ableitung war

n \cdot x^{n - 1}

.
Die zweite Ableitung von

x^{n}

ist demzufolge

n \cdot (n - 1) x^{n - 2}

, und die dritte ist

n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot x^{n - 3}

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19:54 Uhr, 12.03.2017

Entschuldige. Ich hielt dich für einen Moderator, da du ja - das habe ich im Forum bemerkt - so super drauf bist uzw. bei allen Themen.
Ich dachte die Konstant

n

fällt weg. Das ist jetzt klar. Fallt nicht weg, sondern muss mitgezogen werden.
Ich weiß allerdings noch nicht, warum

n!

das Ergebnis ist. Kannst du mir das bitte noch erklären.
Vielen Dank für die Zeit, die du mir geopfert hast, um mich zum richtigen Ergebnis zu führen. Danke!
LG

B

m23456 aktiv_icon

19:57 Uhr, 12.03.2017

Beim Sinus gibts den Zyklus

sin (x)' = cos (x)

cos (x)' = - sin (x)

- sin (x)' = - cos (x)

- cos (x) = sin (x)

wie könnte man das von

n

abhängen lassen?

n

gerade / ungerade?

abakus

19:58 Uhr, 12.03.2017

Mit jeder Ableitung kommt ein neuer Faktor dazu.
Nach der dritten Ableitung hatte man die Faktoren
n, (n-1) und (n-2).
Welche Faktoren wird man nach der vierten Ableitung haben?

Und welche Faktoren wird man nach der fünften Ableitung haben?

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20:03 Uhr, 12.03.2017

Vielen lieben Dank. Die Hilfsbereitschaft im Forum ist sehr groß. Drucke mir alles aus und denke nochmals alles durch, das ist ja selbstverständlich.
Im Exponenten erscheinen die Konstanten:

n, (n - 1), (n - 2), n - 3), (n - 4)

usw.

abakus

20:05 Uhr, 12.03.2017

Richtig, und wenn man n-mal ableitet, bekommt man n (immer kleiner werdende) Faktoren.
Nun musst du nur noch überlegen, wie groß der Exponent (ursprünglich n) noch sein wird, wenn man die Potenz n mal ableitet.

Visocnik aktiv_icon

20:07 Uhr, 12.03.2017

Danke für die Antwort. Ich hoffe fest, doch noch eine Schlussantwort zu bekommen, damit ich zur richtigen Lösung kommen. Danke im Voraus!
Ok. Dann wäre

n^{n - n} = n^{0} = 1

Bei der Aufgabe

b)

y = sin (x)

y' = cos (x)

y'' = - sin (x)

y''' = - cos (x)

Man sieht, dass bei der zweiten und dritten Ableitng die Vorzeichen wechseln (minus)
Welchen Schluss ziehe ich daraus? Gerade und ungerade Zahlen???
Bräuchte dazu noch eine kurze Erklärung. Bedanke mich sehr bei jenem Helfer, der mir da noch Auskunft darüber gibt. Danke!

m23456 aktiv_icon

20:33 Uhr, 13.03.2017

Bei n-ten Ableitungen mit

n

gerade ist die Ableitung ein Sinus, bei

n

ungerade der Cosinus. Wie sieht es mit den Vorzeichen aus?

Visocnik aktiv_icon

20:41 Uhr, 13.03.2017

Entschuldige, wenn ich da nochmals rückfrage. Wie weiß man oder sieht man das, dass bei geraden Zahlen die Ableitung

sin (x)

ist und bei ungeraden

cos (x)

. Da bin ich ein bisschen durcheinander.

ledum aktiv_icon

22:00 Uhr, 13.03.2017

Hallo
dann sieh dir noch mal an, wie die ersten 4 Ableitungen aussehen was fällt dir bei der 4ten auf? was passiert wohl wenn du von hier aus wieder weitere 4 Ableitungen berechnest?
Man muss selbst beobachten lernen!
Gruß ledum

Respon

22:17 Uhr, 13.03.2017

f^{(0)} (x) = sin (x); f^{(1)} (x) = cos (x); f^{(2)} (x) = - sin (x); f^{(3)} (x) = - cos (x); f^{(4)} (x) = sin (x); f^{(5)} (x) = cos (x)

usw.
Es wechselt also

s i n

und

c o s

UND das Vorzeichen.
Es gibt eine Vielzahl von trigonometrischen Identitäten,

z . B

sin (x + \frac{π}{2}) = cos (x)

oder

cos (x + \frac{π}{2}) = - sin (x) (

zu zeigen

z . B

. mit Summensatz )
Ausgehend davon ergibt sich:

sin (x + 0 \cdot \frac{π}{2}) = sin (x)

sin (x + 1 \cdot \frac{π}{2}) = cos (x)

sin (x + 2 \cdot \frac{π}{2}) = - sin (x)

sin (x + 3 \cdot \frac{π}{2}) = - cos (x)

sin (x + 4 \cdot \frac{π}{2}) = sin (x)

sin (x + 5 \cdot \frac{π}{2}) = cos (x)

usw.
Der Bezug zu den Ableitungen ist offensichtlich:

f^{(n)} (x) = sin (x + n \cdot \frac{π}{2})

Beweis mit VI ( Kurzfassung )

f (x) = sin (x);

Behauptung

: f^{(n)} (x) = sin (x + n \cdot \frac{π}{2})

n = 0

oder

n = 1

passt, sei die Behauptung für

n

schon bewiesen

f^{(n + 1)} (x) = {[f^{(n)} (x)]}^{'} = {[sin (x + n \cdot \frac{π}{2})]}^{'} = cos (x + n \cdot \frac{π}{2}) = sin ((x + n \cdot \frac{π}{2}) + \frac{π}{2}) = sin (x + (n + 1) \cdot \frac{π}{2})

\Rightarrow f (x) = sin (x)

f^{(n)} (x) = sin (x + n \cdot \frac{π}{2})

Visocnik aktiv_icon

10:34 Uhr, 14.03.2017

Oh, das ist sehr schwierig. Da braucht man schon viel mathematische Erfahrung, um das zu überblicken.
Auf alle Fälle studiere ich das durch, du hast mir, lieber respon, damit einen großen Gefallen erwiesen.Danke, danke!
LG

B

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