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n-te Ableitung
Universität / Fachhochschule
Tags: DGL
 
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anonymous 16:54 Uhr, 20.10.2004  |
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Hallo! Das Problem ist folgendes: Wie bildet man die n-te Ableitung folgender Funktion f(x)=x^x ? |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) | |
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Versuch mal folgenden Ansatz, um zumindest erst mal die ersten paar Ableitungen zu finden. Vielleicht kommst du ja dann auf eine allgemeine Bildungsvorschrift (die du dann natürlich per Induktion beweisen musst...): |
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| Danke, aber dass bringt mich leider auch nicht weiter. Ich sehe zwar, dass es so etwas wie ein System gibt, aber ich habe leider keine Idee wie ich das in eine allgemeine Bildungsvorschrift umwandeln kann. | |
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Hmmm... Ich habe jetzt mal ein bisschen daran rumgerechnet und mich bis zur vierten Ableitung durchgeschlagen. Die ersten 10 habe ich dann durch ein Programm berechnen lassen, aber ich muss gestehen, dass ich kein allgemeines Bildungsgesetz erkannt habe. Google brachte mich leider auch nicht weiter, aber vielleicht liest hier jemand mit, der die Antwort weiß. Gruß, Marco |
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hat nicht noch jemand eine Idee? wäre für mich super wichtig . |
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Hallo an alle! Zimlich interessante Aufgabe, aber eines fehlt mir hier. Mann muss voraussetzen, dass x positive Zahl ist. Dann ist die Funktion f(x) = x^x stetig und sogar diefferenzierbar (n-mal). Es wurde schon richtig geschrieben f(x) = exp(x*lnx). Unter von mir angegebenen Bedingungen gilt aber auch ln f(x) = x*lnx. Differenzieren wir diese Gleichung, bekommen wir einfach 1/(f(x)) * f ´(x) = lnx + 1. Davon dann einfach f ´ (x) = f(x) * (lnx + 1). Man kommtdann zu dieser Gedanke n-te Ableitung der Funktion f(x) ist die „Funktion“ der ersten, zweiten, ..., (n - 1)-sten Ableitung. Wie bekommt man aber diese Funktion? Es gilt unter anderem Wir legen weiter f ´ (x) = F(x), g(x) = lnx + 1. Davon dann also F(x) = f(x)*g(x). Benutzen wir die obige Formel für die n-te Ableitung auf unsere Funktion F(x), bekommen wir dieses Resultat: Wir haben also bewiesen, dass die (n+1)-ste Ableitung eine gewisse Kombination von 1., 2, ..., n-ten Ableitung ist. Dieses nennen wir auch rekurente Formel. Explizite Formel zu suchen, dass wäre meiner _Ansicht nach, vergeblich. Hoffentlich habe ich nicht keine Fehler gemacht. Viel Spaß und viele Grüße Marian P.S.: Um 18:22 Uhr habe ich die Formel korrigiert. Jetzt sollte alles schon in Ordnung sein! Marian |
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