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partielle Ableitung

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Differentiation

Tags: Differentiation

michi222 aktiv_icon

14:57 Uhr, 17.08.2015

Hallo :-)

also es geht um totale Differenzierbarkeit. Ich habe da eine Aufgabe aus einem Buch mit Musterlösung:

funktion:

\frac{2 \cdot x \cdot y}{x^{2} + y^{2}}

Diese Funktion ist nicht stetig bei

(0,0)

.

partielle Ableitung nach

x :

= 2 y \frac{y^{2} - x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

und nach

y :

fy:

2 x \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

Jetzt steht in diesem Buch: Im Punkte

(0,0)

existiert sowohl die partielle Ableitung von

f

nach

x,

als auch nach

y :

fx(0,0) = fy(0,0)

= 0,

obwohl die Funktion nicht stetig ist.

Das macht für mich keinen Sinn. Wenn man

(x, y) = (0,0)

für die partiellen Ableitungen berechnet, teilt man durch Null.

z . B

.

fx(0,0)

= 2 \cdot 0 \frac{0^{2} - 0^{2}}{{(0^{2} + 0^{2})}^{2}}

Außerdem ist Nennergrad kleiner Zählergrad, deshalb geht Nenner schneller gegen 0 als der Zähler. (Was eigentlich eh egal ist, weil man ja die Ableitung am Punkt 0 berechnet und sich nicht annähert).

Vielen Dank für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

15:09 Uhr, 17.08.2015

Die partiellen Ableitung in

(0, 0)

werden nicht nach allgemeiner Formel berechnet, die dort natürlich nicht gültig ist, sondern nach Definition.

Z.B.

\frac{\partial (\frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}})}{\partial x} (0, 0) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 h \cdot 0}{h^{2} + 0^{2}} - 0}{h} = 0

.

Vorausgesetzt natürlich, dass

f (0, 0) = 0

, das hast Du wohl vergessen zu schreiben.

michi222 aktiv_icon

15:29 Uhr, 17.08.2015

f (0,0) = 0

ist nicht gegeben. Es steht nur die genannte Funktion und

(x, y)

ungleich

(0,0)

.

Was mich verwundert ist folgender Satz: "Im Punkte

(0,0)

existiert sowohl die partielle Ableitung von

f

nach

x,

als auch nach

y :

fx(0,0) = fy(0,0) =0"
Also

d . h

. man befindet sich bei

(0,0)

und hier gibt es diese Ableitung, obwohl es dort keinen Funktionswert gibt.

und wenn man sich dem Nullpunkt nähert, dann geht die Ableitung doch eher gegen plus bzw minus unendlich als gegen 0.

DrBoogie aktiv_icon

15:32 Uhr, 17.08.2015

"und hier gibt es diese Ableitung, obwohl es dort keinen Funktionswert gibt"

Ohne Funktionswert kann man keine Ableitung definieren, das ist ein Fehler in der Aufgabestellung. Diese Angabe (

f (0, 0) = 0

) ist einfach vergessen worden.

michi222 aktiv_icon

15:53 Uhr, 17.08.2015

okay. also wenn man nun

f (0,0) = 0

definiert, dann ist diese ganze Funktion nicht stetig bei

(0,0)

. Aber woher kommt denn dann fx(0,0) = fy(0,0)

= 0

?
von der Annäherung von außen an den Nullpunkt sicher nich, da die Werte dort gegen plus/minus unendlich gehen.
Und der Nullpunkt selbst ist ja nur ein einzelner Punkt, an dem man keine Ableitung definieren kann.

DrBoogie aktiv_icon

16:03 Uhr, 17.08.2015

"Aber woher kommt denn dann

f_{x} (0, 0) = f_{y} (0, 0)

?"

Von der Definition. Habe ich oben doch geschrieben. Kennst Du die Definition von partiellen Ableitungen?

"von der Annäherung von außen an den Nullpunkt sicher nich, da die Werte dort gegen plus/minus unendlich gehen"

Über welche Annäherung sprichst Du überhaupt? Und über welche Werte?

ledum aktiv_icon

16:12 Uhr, 17.08.2015

Hallo
was ist das für ein Buch?

f

ist unstetig in

(0,0)

und kann auch nicht stetig durch

f (0,0) = 0

ergänzt werden (oder durch einen anderen Wert)
also existierten auch keine partiellen Ableitungen dort, der GW der Ableitungen, die man außerhalb

(0,0)

berechnen kann ist auch nicht 0
also ist die ganze Musterlösung sinnlos.
Gruß ledum

DrBoogie aktiv_icon

16:22 Uhr, 17.08.2015

"also existierten auch keine partiellen Ableitungen dort"

Was bedeutet dieses "also"?

Willst Du wirklich behaupten, dass aus Existenz von partiellen Ableitungen Stetigkeit folgt? :-O Echt Leute...

abakus

16:40 Uhr, 17.08.2015

Hallo ledum,
eine Darstellung der Funktion in Polarkoordinaten liefert

f (r, φ) = \frac{2 \cdot r \cdot c o s φ \cdot r \cdot s i n φ}{r \cdot c o s^{2} φ + r \cdot s i n^{2} φ +} = \frac{r^{2} \cdot s i n (2 φ)}{r^{2}} = s i n (2 φ)

.
Diese Funktion ist eigentlich nur abhängig von

φ

und nimmt auf jedem von (0|0) ausgehenden Strahl den (dort konstanten) Wert

s i n (2 φ)

an. Dieser kann zwischen -1 und 1 liegen, somit ergeben sich bei Annäherung von außen an (0|0) je nach verwendetem Strahl verschiedene Grenzwerte, also ist die Funktion in (0|0) nicht stetig fortsetzbar.
ABER: wenn man nur die Annäherung entlang der x- bzw. entlang der y-Achse betrachtet (mit

p h i

-Werten von 0° oder 90° oder 180° oder 270°, dann ist der Sinus von

2 φ)

immer 0.
Damit würde eine Definition von f(0,0)=0 zwar die Funktion nicht komplett stetig machen, aber wenigstens entlang dieser beiden Wege einen einheitlichen Lückenschluss (mit der Möglichkeit partieller Ableitungen für diese Richtungen) ermöglichen.

michi222 aktiv_icon

17:02 Uhr, 17.08.2015

hmm, eigentlich kenn mich eigentlich ziemlich gut damit aus... also nur halt 2 ableitungen miteinander verknüpfen noch ned wirklich.

Also die partiellen Ableitungen
fx

= 2 \cdot y \cdot \frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2} + y^{2}}

und fy gelten überall dort, wo diese funktion definiert ist. also überall, außer bei

(0,0)

.
und zusätzlich definiert man jetz noch einen weiteren Punkt, nämlich den Punkt

(0,0)

.

Ich glaub ich weis jetzt wie du das meinst.. also deine erste Antwort. Ja, das macht nur Sinn, wenn dieser zusätzliche Punkt

(0,0)

definiert ist. Man schlägt also beim differenzieren eine Brücke zwischen der Funktion und dem Wert

(0,0)

.
Und weil sowohl fx=fy=0, kann man sagen, dass diese ganze Funktion partiell diffbar ist.
Weil egal wie man sich dem Nullpunkt nähert, die Ableitung/Steigung ist immer 0.

Falls man deine Ableitung vereinfacht, folgt als weiterer Schritt
lim(h→0)=(0/h^2). Sicher, dass das Null ergibt?

und diese Ableitungen, die bei mir im Buch stehen sind dann sinnlos, weil man mit ihnen in dieser Form eh nichts anfangen kann.

"Über welche Annäherung sprichst Du überhaupt?"
"Und über welche Werte?"
hat sich erledigt.

Das Buch ist "Mathematik für Ingenieure" von Westermann.

michi222 aktiv_icon

17:03 Uhr, 17.08.2015

ist das soweit verständlich wie ich das geschrieben habe oder is da noch

n

Denkfehler?

abakus

17:10 Uhr, 17.08.2015

"Und weil sowohl fx=fy=0, kann man sagen, dass diese ganze Funktion partiell diffbar ist."

Eine Funktion könnte auch dann partiell diffbar sein, wenn fx und fy verschiedene Werte annehmen.
So hat z.B. eine Dachschräge in Richtung der Falllinie ein großes Gefälle, wenn man auf dem Dach aber senkrecht zur Falllinie läuft, hat man den Anstieg 0.

DrBoogie aktiv_icon

17:12 Uhr, 17.08.2015

"Sicher, dass das Null ergibt?"

Natürlich.

"und diese Ableitungen, die bei mir im Buch stehen sind dann sinnlos, weil man mit ihnen in dieser Form eh nichts anfangen kann"

Das wie auch vieles Anderes, was Du schreibst, kann ich nicht wirklich verstehen.
Das sind zu viele vage Worte. Solche schwammige Erklärungen haben in der Mathematik nichts zu suchen.

michi222 aktiv_icon

17:20 Uhr, 17.08.2015

ja habs nochmal nachrechnet.

jetz machts sinn. danke für deine Mühe, DrBoogie und auch von den anderen.

"Das sind zu viele vage Worte. Solche schwammige Erklärungen haben in der Mathematik nichts zu suchen."

beim nächsten mal achte ich mehr darauf :-D)

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