überprüfen ob Funktion stetig differenzierbar ist

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\left|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|}=\{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}^{-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge 0\\ {\begin{array}{c}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<0\end{array}}$

für x<0 und x>0 ist f(x) differenzierbar und da Ableitungen als e-Funktionen ${\displaystyle -{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ bzw. ${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ stetig sind, ist f in diesen Fällen stetig differenzierbar.

Der kritische Punkt ist x=0.

${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 0^{-}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)-\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0\right)}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-0}=\underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 0^{-}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 0^{-}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{1}=1}$

${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 0^{+}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)-\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0\right)}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-0}=\underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 0^{+}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 0^{+}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{{-\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{1}=-1}$

Der rechtseitige und linkseitige Differentialquotient stimmen stimmen an der Stelle x=0 nicht überein, damit ist f an der Stelle x=0 nicht differenzierbar und damit auch nicht stetig differenzierbar!