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wie löst man cosx=Wurzel(3)/2

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Trigonometrie

simsimrumblebob aktiv_icon

18:35 Uhr, 04.11.2012

Hallo,
habe erneut eine Frage... wir haben die Aufgabe

cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}

zu rechnen,
ich weiß das im Einheitskreis die stelle unter 1 liegt und das man an der stelle die passenden x-Werte berechnen soll, unser prof hat

\frac{π}{6}

auch dort stehen, das lässt sich ja noch verstehen, da im einheitskreis

\frac{π}{6}

30° sind also im einheitskreis auch kurz unter eins... aber wie lässt sich das ausrechnen und in einen zusammenhang bringen?
mfg jens

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Einführung Funktionen

rundblick aktiv_icon

18:48 Uhr, 04.11.2012

hast du schon mal versucht, in einem gleichseitigen Dreieck ABC (zB Seite

a = 1)

eine Höhe zu berechnen?

Ja?
dann mach dir mal ne Zeichnung mit einer solchen Höhe im Dreieck ABC

(\to

siehst du da rechtwinklige Dreiecke .. ja?)

dann überlege, wie gross die Winkel in diesem rechtwinkligen Dreieck sind..

und möglicherweise kennst du sogar irgendwie einen Zusammenhang zwischen Seiten und Winkel ?

pleindespoir aktiv_icon

18:49 Uhr, 04.11.2012

wirklich ausrechnen?

oder beweisen ?

oder nur wissen ?

Trick:

s i n (0 °) = ½ \sqrt{0}

s i n (30 °) = ½ \sqrt{1}

s i n (45 °) = ½ \sqrt{2}

s i n (60 °) = ½ \sqrt{3}

s i n (90 °) = ½ \sqrt{4}

c o s (0 °) = ½ \sqrt{4}

c o s (30 °) = ½ \sqrt{3}

c o s (45 °) = ½ \sqrt{2}

c o s (60 °) = ½ \sqrt{1}

c o s (90 °) = ½ \sqrt{0}

simsimrumblebob aktiv_icon

18:57 Uhr, 04.11.2012

ok also ist

cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{π}{6} =

30°
kann man ja noch nachvollziehen, aber wie kommt mein prof dann auf

\frac{π}{6} +

k*2pi wobei

k

element ganze Zahlen sind
und 11/6*pi+k*2pi

pleindespoir aktiv_icon

19:05 Uhr, 04.11.2012

Wenn Du den Graphen weiterzeichnest, wirst du feststellen, dass es unendlich viele Stellen gibt, an denen der Cosinus den Wert

\frac{\sqrt{3}}{2}

annimmt.

Die Trigonometrischen Funktionen haben Mehrfachlösungen, weil sie sich periodisch wiederholen.

rundblick aktiv_icon

19:27 Uhr, 04.11.2012

"ok also ist

. .

\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{π}{6} =

30° "

\to

NEIN

. .

. die Gleichheitszeichen sind da völlig daneben ..

simsimrumblebob aktiv_icon

19:35 Uhr, 04.11.2012

die werte entsprechen sich aber oder?
wäre also die lösung

\frac{π}{6}; (\frac{π}{6}) \cdot 1 \cdot 2 \cdot π; (\frac{π}{6}) \cdot 2 \cdot 2 \cdot π; (\frac{π}{6}) \cdot 3 \cdot 2 \cdot π . .

u . s . w

weil die stellen sich unendlich wiederholen?

pleindespoir aktiv_icon

21:52 Uhr, 04.11.2012

Die erste Lösung (also die der TR ausspuckt) wiederholt sich alle

2 π

bzw. alle 360°.

Die werden jedes Mal dazugezählt, aber nicht malgenommen. Achte bitte auf die korrekten Bezeichnungen und Zeichen. Das ist bei Mathe äusserst wichtig.

Die erste Lösung lautet also:

\frac{\sqrt{3}}{2} = c o s (\frac{π}{6} + 0 \cdot 2 π)

die nächste Periode :

\frac{\sqrt{3}}{2} = c o s (\frac{π}{6} + 1 \cdot 2 π)

die darauffolgende:

\frac{\sqrt{3}}{2} = c o s (\frac{π}{6} + 2 \cdot 2 π)

usw.:

\frac{\sqrt{3}}{2} = c o s (\frac{π}{6} + 3 \cdot 2 π)

um das allgemein auszudrücken, schreibt man nicht unendliche Reihen von möglichen Lösungen, sondern ersetzt die fortlaufenden Faktoren durch

k

\frac{\sqrt{3}}{2} = c o s (\frac{π}{6} + k \cdot 2 π)

---

Wenn sich zwei Werte "entsprechen" - also eine Beziehung zueinander haben, dann ist das nicht mit einem Gleichheitszeichen darzustellen.

2 π

"entspricht"

360 °

, aber

2 π \neq 360 °

Und schon garnicht

\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{π}{6}

wenn

\frac{\sqrt{3}}{2} = c o s \frac{π}{6}

Ich sag ja auch nicht die Suppe ist rot, wenn ich meine , dass sie heiss ist.
Nur weil der Heisswasserhahn einen roten Punkt hat.

---

So, wenn das alles angekommen sein sollte, ist noch zu bemerken dass

k

auch negative ganze Zahlen annehmen kann, weil es ins negative auch unendlich weitergeht.

Dessen nicht genug, hat der cos noch eine zweite "Hauptlösung" in der ersten Periode.
Schau Dir dazu vielleicht mal die Funktron so richtig genau an.

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