Ableitung der Umkehrfunktion

Hallo zusammen,

Ich habe die folgende Funktion gegeben:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$

Ich soll nun ${\displaystyle {\left({\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}\right)}^{,}\left(\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right(1\left)\right)}$ bestimmen. Was muss ich da genau machen. Also an der Stelle 1 hab ich den Funktionswert 2. Ich muss den Wert nun in die Ableitung der Umkehrfunktion von f einsetzen, oder?

Wie bilde ich ersteinmal die Umkehrfunktion, soll ich da x und y vertauschen und dann nach y auflösen?

Danke

Wenn ich das richtig verstanden habe und das die Aufgabe ist, ja :-).

Ich will aber wissen wie man das macht und herleitet.

Danke

Ne,weiß nicht warum das in ganz D gilt, aber das mit das Spiegelung kenn ich. Besonders mit der Exponentialfunktion und dem Logarithmus.

Das Prinzip habe ich verstanden, ist das auch das was in der Aufgabe verlangt ist?

Diesen Weg kann man aber nicht immer anwenden, hast du vielleicht deswegen demeint das das in ganz D gilt und man das nur dann anwenden kann?

Wie kann ich das rechnerisch bestimmen. Die Umkehrfunktion ist ja ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$.

Kann ich die nach y auflösen? z.B. ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(1+\mathrm{y²<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}}$ . Nun müsste ich für y etwas einsetzen?!

Die Funktion besitzt in ganz D eine Umkehrfkt. weil es zu jedem x nur ein y gibt (injektiv?!) und weil die Funktion stetig ist oder?

A ok, du hast wie vorhin gesagt einfach

${\displaystyle {\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{,}=\frac{1}{{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{,}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}}$ gesetzt, oder !?

Gilt das immer, oder nur bei streng monotonen Funktionen?

Ok ich hab das jetzt verstanden. Vielen Dank für die Hilfe!