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Ableitung der ln x Funktion mit der h-methode

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

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23:24 Uhr, 29.12.2009

Ich lerne gerade für die Schule und bin dabei auf die Funktion

ln x

gestoßen. Ich weiß wie die Ableitung dazu heißt, ich weiß auch wie ich das lösen kann was ich aber nicht verstehe ist, wie kann ich das mit der h-methode lösen??

lim \frac{f (x + h)}{h} - \frac{f (x)}{h}

daraus folgt:

\frac{ln (x + h)}{h} - \frac{ln (x)}{h}

wie gehe ich da weiter vor?

h \to o

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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23:30 Uhr, 29.12.2009

hallo,

so einfach findet man die ableitung von

ln (x)

nicht (oder ich wuesste zumindest nicht wie). Die Ableitung wird ueber die Umkehrregel gefunden. ist ganz gut in wikipedia beschrieben

http//de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

da ist auch ein beispiel direkt mit

ln (x)

.

lg

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23:35 Uhr, 29.12.2009

Dankeschön diese Wikipedia Seite habe ich mir aber schon angesehen.
Es muss doch möglich sein

ln x

abzuleiten mit der h-methode. Im Internet habe ich bis jetzt nur ander Lösungswege gefunden.

arrow30

23:36 Uhr, 29.12.2009

hi

ist euch dieser Grenzwert bekannt ?

\to lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} = e^{x}

oder eher nicht ?

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23:38 Uhr, 29.12.2009

Nein der ist mir noch nicht bekannt. Aber wenn es möglich ist damit die Ableitung herausfinden dann könnt ich ihn ja einfach so voraussetzen oder??

arrow30

23:47 Uhr, 29.12.2009

mit diesem Grenzwert sehe ich schon eine Lösung ,aber ob es euch erlaubt ist ! keene Ahnung. also
angenommen wir kennen den :

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{ln (x + h) - ln (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot ln (\frac{x + h}{x}) =

= lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot ln (\frac{x}{x} + \frac{h}{x}) = lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot ln (1 + \frac{h}{x}) = lim_{h \to 0} {ln (1 + \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{h}})}^{\frac{1}{h}}

nun wenn

h \to 0

dann ist

\frac{1}{h} \to \infty

lass uns

\frac{1}{h} = n

nennen und

n

strebt nach

\infty

dann haben wir folgendes :

lim_{n \to \infty} {ln (1 + \frac{\frac{1}{x}}{n})}^{n} = {ln e}^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \cdot ln e = \frac{1}{x}

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23:53 Uhr, 29.12.2009

Hm danke dir sieht super aus aber irgendwie kapier ich das nicht.
Wie hast du das denn gemacht?

arrow30

23:56 Uhr, 29.12.2009

wir wissen ja das

a \cdot ln b = {ln b}^{a}

. das habe ich da ausgenutzt . und habe auch umgeformt damit ich auf meinen bekannten Grenzwert komme. was genau verstehst du nicht ?

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00:05 Uhr, 30.12.2009

Naja um ehrlich zu sein verstehe ich diesen zweiten Schritt nicht also:

lim \to 0 \frac{1}{n} \cdot ln (x + \frac{h}{x})

Sorry ist wahrscheinlich eine total dumme Frage.

arrow30

00:08 Uhr, 30.12.2009

ich sehe das bei mir aber nicht ! aber vielleicht hilft dir dieses

: ln a - ln b = ln (\frac{a}{b})

das musst du ja kennen oder ?

ln (x + h) - ln x = ln (\frac{h + x}{x}) = ln (1 + \frac{h}{x})

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00:12 Uhr, 30.12.2009

Nein, ohh mam.

Ich meine deinen zweiten Schritt......

arrow30

00:15 Uhr, 30.12.2009

Anzeigeproblem ? welcher ist mein 2ter Schritt :-) siehe das Bild

rambo aktiv_icon

00:23 Uhr, 30.12.2009

Sie meint das hier :

rambo aktiv_icon

00:25 Uhr, 30.12.2009

nein das hier meint sie, denke ich :

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15:58 Uhr, 30.12.2009

Weiß denn keiner wie man das mit der h-Methode herausfinden kann?

OmegaPirat

16:16 Uhr, 30.12.2009

arrow hat bereits gezeigt, wie man es mit der "h-methode" zeigt. Die Frage ist jetzt nur, welche stellen der herleitung du noch nicht verstanden hast.

Dir sollten zum Verständnis der herleitung auf jedenfall die logarithmengesetze geläufig sein, außerdem solltest du die folge kennen, welche gegen die eulersche zahl

e

konvergiert. Das sind die basics um das zu verstehen.

ilken aktiv_icon

16:28 Uhr, 30.12.2009

Dankeschön an alle! Ich werde mir das nochmal intensiv angucken und wenn ich Fragen habe frage ich einfach.

Kosekans aktiv_icon

23:52 Uhr, 30.12.2009

Hab noch was dazu gefunden

. .

. :-)

http//www.youtube.com/watch?v=yUpDRpkUhf4

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00:58 Uhr, 04.01.2010

Ich habe mir alles in Ruhe nochmal angekuckt. Im groben habe ich das alles verstanden doch eine Frage habe ich noch. Ich verstehe nicht wie du das umgeformt hast bzw. wie du darauf gekommen bist arrow:

lim h \to 0 \frac{1}{h} \cdot ln (1 + \frac{h}{x}) = lim h \to 0 {ln (1 + \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{h}})}^{\frac{1}{n}}

diesen Schritt verstehe ich nicht wenn du ihn mir vllt. erklären könntest wäre ich dir sehr dankbar.

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01:24 Uhr, 04.01.2010

Ach und nicht das ihr glaubt ich überlege selbst nicht. Mein nächster Schritt wäre eigentlich

\frac{1}{h} \cdot ln (1 + \frac{h}{x}) = {ln (1 + \frac{h}{x})}^{\frac{1}{h}}

nur komme ich da nicht weiter...

arrow30

14:54 Uhr, 04.01.2010

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

dies musst du schon mal gesehen haben oder? dann ist

\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{h}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{h}{1} = \frac{h}{x}

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19:00 Uhr, 04.01.2010

Merci beaucoup arrow ich habe es endlich kapiert dankeschönnnnnnnnnnnnn

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