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Ableitung des arcsin, arccos

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Differentiation, Funktion

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15:53 Uhr, 31.05.2009

Hallo.

Kann mir jemand bitte relativ ausführlich erklären, wie man die Ableitung des arcsin und arccos herleiten kann? Mein Problem dabei ist dass wir weder trigonometr. Funktionen noch Umkehrfunktionen in der Schule wirklich durchgenommen haben, jetzt auf der Uni aber mehr oder weniger vorausgesetzt werden. Blick da mit den Zusammenhängen der trigo. Funktionen nicht 100%ig durch...

Danke

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

anonymous

16:29 Uhr, 31.05.2009

also.. dazu muss man eigentlich nur die formel kennen:

(f^{- 1})' = {(f' (f^{- 1}))}^{- 1}

sieht erst kompliziert aus, aber hier mal 2 einfache beispiele:

f (x) = \sqrt{x} <

kann jeder ableiten über die potenzregel:

\frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

funktioniert aber auch mit der formel:

f (x) = x^{2}

f' (x) = 2 x

f^{- 1} = \sqrt{x}

(f^{- 1})' = {(2 \sqrt{x})}^{- 1} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

oder:

f (x) = e^{x}

f' (x) = e^{x}

f^{- 1} (x) = ln (x)

(f^{- 1})' (x) = \frac{1}{e^{ln (x)}} = \frac{1}{x}

falls du noch nicht weisst, was ne umkehrfunktion ist:
normalerweise haste ja eine funktionsvorschrift:

y = f (x)

umformen bis man

x = f (y)

bekommt.

z . b

y = x^{2} \Rightarrow x = \sqrt{y}

(jaja

\pm

usw..egal, auch muss man auf

D

und

W

bereich achten, aber ads ist daf+r erstmal nicht wichtig)

oder

y = e^{x} \Rightarrow ln y = ln (e^{x}) \Rightarrow x = ln (y)

dann tauscht man nur noch die variablen aus (weil sonst würde sich ja an der funktion nichts ändern :-))

durch das austauschen ergibt sich dann auch das "an der funktion

y = x

spiegeln"

so nun zum arcsin, arctan und arccos.

ganz einfach mit der formel:ich sag nun einfach mal, ich nenne die umkehrfunktion von

f

jetzt

g :

f (x) = sin (x)

f' (x) = cos (x)

g(x)=arcsin(x)
g'(x)=1/cos(arcsin(x))

gut..damit kann man ja nicht sowas tolles anfangen;-) aber wir wissen ja:

{cos}^{2} + {sin}^{2} = 1 \Rightarrow cos = \sqrt{1 - {sin}^{2}}

und damit ist

g' (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

arccos(x):

f (x) = cos (x)

f' (x) = - sin (x)

g(x)=arccos(x)
g'(x)=1/(-sin(arccos(x))

funktioniert wieder genauso:

sin = \sqrt{1 - {cos}^{2}}

\Rightarrow g' (x) = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

probiers mal mit dem tangens selbst aus.. wenn da noch rigendwelche faktoren und konstanten drinsind, wirds halt ein wenig komplizierter und man muss rumbasteln, so dass es beim anwenden der umkehrfunktion auch wegfällt.

funktioniert auf jeden fall nach dem prinzip
http//de.wikipedia.org/wiki/Arcsin#Ableitungen

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