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Ableitung von Skalarprodukt, Matrixmultiplikation

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Differentiation, Funktion, Mehrdimensionale Differentiation

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17:51 Uhr, 14.03.2020

Hallo zusammen

Ich habe hier gerade eine Aufgabe, die mir etwas komisch vorkommt bzw, bei der ich keinen sinnvollen Ansatz finde.

Bestimme die Ableitung folgender Funktionen:

1) f_{1} : ℝ^{n} \to ℝ^{m}

gegeben durch die Multiplikation mit einer

m

mal

n

-Matrix

A,

also

f_{1} =

2) f_{2} : ℝ^{n} x ℝ^{n} \to ℝ

gegeben durch das Standardskalarprodukt auf

ℝ^{n}

3) f_{3} : ℝ^{n} \to ℝ

gegeben durch die Norm im Quadrat, also

f_{3} (x) = {| | x | |}^{2}

Was ist Df(x)?

4) f_{4} : ℝ^{n}

{

\to ℝ

gegeben durch

f_{4} (x) = \frac{1}{{| | x | |}^{2}}

5) f, g : ℝ^{n} \to ℝ^{m}

differenzierbare Funktionen und

h (x) = < f (x), g (x) >

Zeige dass für jedes

x \in ℝ^{n}

und jede Richtung

v \in ℝ^{n}

gilt:
Dh(x)(v) = <Df(x)(v),g(x)>

+

<f(x),Dg(x)(v)>

Ich bin hier sehr verwirrt, denn

z

. B. bei

1) f_{1} (x) =

Ax Wenn ich das ableite, komme ich auf A aber da wir gerade beim Thema mehrdimensionale Differentialrechung sind, scheint mir das zu einfach.

Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand vielleicht die einfacheren Aufgaben kurz vorlösen könnte, damit ich eine Vorstellung davon bekomme, worum es hier genau geht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pwmeyer aktiv_icon

17:59 Uhr, 14.03.2020

Hallo,

warum so zaghaft? Deine erste Antwort ist richtig: Für

f (x) = A \cdot x

ist Df(x)=A.

Da die Beispiele aus dem

ℝ^{n}

sind, kannst Du doch alles über die partiellen Ableitungen herleiten.

Gruß pwm

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19:19 Uhr, 14.03.2020

Hallo pwmeyer

Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe jetzt auch

2 - 4

gelöst, frage mich aber gerade, ob ich das richtig gemacht habe: Für die Ableitung des Skalarproduktes habe ich gesagt, das Skalarprodukt zweier n-dimensionaler Vektoren ist

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \cdot b_{i}

Wenn ich nun nach

a_{k}

bzw.

b_{k}

ableite, erhalte ich dann

b_{k}

bzw.

a_{k}

. Somit wäre die totale Ableitung

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} + b_{i}

Ich sollte aber glaube ich nach a und

b

ableiten und nicht nach deren Einträgen oder? Aber wenn ich eine Summe habe der Form

a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} \cdot . .

\cdot a_{n} \cdot b_{n}

kapiere ich nicht ganz, wie ich die nach a oder

b

ohne Index ableiten soll.

Tut mir leid, wenn ich hier etwas zaghaft bin, aber ich möchte es vermeiden, dass mein Übungsleiter nochmals einen Lachanfall bekommt, wenn er meine Lösungen sieht.

pwmeyer aktiv_icon

19:40 Uhr, 14.03.2020

Hallo,

ist Dir der Zusammenhang zwischen Ableitung und Jacobi-Matrix - mit partiellen Ableitungen - klar? Das wollte ich benutzen.

Im Falle des Skalarprodukts ist

f : ℝ^{2 \cdot n} \to ℝ, f (a, b) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \cdot b_{i}

.

Die partielle Ableitung nach

a_{k}

ist

\frac{\partial f}{\partial a_{k}} = b_{k},

analog für die Ableitung nach

b_{k}

. Damit ist

D f (a, b) (u, v) = \sum_{i = 1}^{n} b_{i} \cdot u_{i} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \cdot v_{i} = < b, u > + < a, v >

(mit dem Skalarprodukt

< ., . >)

Vielleicht habt Ihr aber auch andere Schreibweisen benutzt.

Gruß pwm

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19:54 Uhr, 14.03.2020

Hallo pwmeyer

Ich dachte eigentlich, ich hätte das mit der Jacobi-Matrix verstanden, dass die eben alle ersten partiellen Ableitungen enthält, ich bin aber gerade etwas verwirrt über deine

u

und

v

. Ich habe im Kopf, dass das totale Differential die Summe der partiellen Ableitungen ist. Wenn ich also nach

a_{k}

bzw.

b_{k}

ableite und dann

b_{k}

bzw.

a_{k}

erhalte, verstehe ich nicht, woher deine

u

und

v

kommen. Könntest du mir das bitte nochmals erklären?

Gruss Baumstamm

pwmeyer aktiv_icon

12:10 Uhr, 15.03.2020

Hallo,

Du hast die Zusammenhänge noch nicht durchgearbeitet. Ich habe diese Schreibweise gewählt, weil sie auch in Deiner Aufgabe 5 verwendet wird, also Euch geläufig sein sollte.

Eine Ableitung ist eine lineare Abbildung, diese kannst Du im endlich-dimensionalen als Jacobi-Matrix darstellen. Also bei Deinem ersten Beispiel: Df(x)=A oder Df(x)(v)=

A \cdot v

.

Gruß pwm

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10:46 Uhr, 21.03.2020

Vielen Dank für deine Hilfe

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