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Arbeitsintegral berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Integral, Integralrechnung

TestAccount1245 aktiv_icon

18:26 Uhr, 16.05.2016

Hallo!

Folgende Aufgabe:

Ein Kraftfeld sei durch

\vec{F} = (2 x y, x^{2})^{T}

gegeben.
Berechnen Sie das Arbeitsintegral

\int_{C} d \vec{r} * \vec{F} (x, y)

entlang

(a) des Randes des Einheitsquadrates (Koordinaten der Eckpunkte (

\pm 1

\pm 1

)),
(b) des Einheitskreises.

Kann mir bitte jemand helfen? Danke schon mal! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

18:41 Uhr, 16.05.2016

Hallo
die Geradenstücke von (-1.-1)bis

(1, - 1)

kannst du doch wohl als

\vec{r (t)}

hinschreiben

\vec{r} = {(t, - 1)}^{T} 0 \leq t \leq 2

usw für die anderen 3 Geradenstücke
dann den Weg in

\vec{F}

einsetzen , Skalarprodukt

\vec{F} \cdot d \vec{r} = \vec{F} \cdot \vec{r}' d t

integrieren. wie man den Einheitskreis parametrisiert solltest du eigentlich auch wissen!
Gruß ledum

TestAccount1245 aktiv_icon

18:48 Uhr, 16.05.2016

Wie kommst du auf den Vektor r(t) und den Grenzen?

TestAccount1245 aktiv_icon

20:02 Uhr, 16.05.2016

Wie kommst du auf das?

ledum aktiv_icon

20:10 Uhr, 16.05.2016

Hallo
ich hatte in den Grenzen einen Fehler

- 1 \leq t \leq 1

ist richtig wenn

t

von 0 bis 2 läuft ist

r = ((t - 1, - 1)

hast du das Quadrat gezeichnet? die untere Seite geht von

(- 1, - 1)

nach

(1, - 1)

das wird durch den Vektor

r

beschrieben wenn

t

richtig läuft. du musst doch nur die

y

Koordinate festhalten und

t

so wählen, dass am anfang

- 1

am Ende 1 rauskommt dazwischen alle Werte ?
wie kommst du dann von

(1, - 1)

nach

(1,1)

? und dann nach

(- 1,1)

und zurücl zu

(- 1 . - 1)

und kannst du den Einheitspreis parametrisieren
Gruß ledum

TestAccount1245 aktiv_icon

21:02 Uhr, 16.05.2016

Den unteren Teil hab ich mal berechnet. Da komme ich auf 0.
Stimmt das so?

Und das gleiche jetzt für die 3 anderen Seiten, oder?

ledum aktiv_icon

00:55 Uhr, 17.05.2016

Hallo
richtig und ja
Gruß ledum

TestAccount1245 aktiv_icon

13:00 Uhr, 17.05.2016

Passt bei (a) W = 8?

Und was sind die Grenzen bei (b)?
Wenn mir das bitte jemand erklären könnte.

ledum aktiv_icon

13:14 Uhr, 17.05.2016

Hallo
das Ergebnis für das dritte Integral ist falsch, vergleiche mit dem ersten!
der Rest ist richtig.
der ansatz für den Kreis ist richtig.
besser wäre du würdest nicht mit

d x, d y

rechnen sondern direkt im Integral

F (r (t) \cdot r' (t) \cdot d t

rechnen (wenn du später auch

3 d

rechnest wird das leicht falsch.)
Grenzen für

b :

um einmal um den Kreis zu laufen muss der Winkel

t

von 0 bis wo laufen?
Gruß ledum

TestAccount1245 aktiv_icon

13:27 Uhr, 17.05.2016

Beim 3. Integral komme ich jetzt auf 0. Insgesamt dann auf W = 4.

Muss man beim Einheitskreis wieder 4 Unterscheidungen machen?

DerDepp aktiv_icon

13:39 Uhr, 17.05.2016

Hossa :-)

Das Arbeitsintegral auf einem Weg von

{\vec{r}}_{1}

{\vec{r}}_{2}

durch das Kraftfeld

\vec{F} = (\begin{array}{c} 2 x y \\ x^{2} \end{array})

ist

E = \int_{{\vec{r}}_{1}}^{{\vec{r}}_{2}} \vec{F} d \vec{r} = \int_{(x_{1}, y_{1})}^{(x_{2}, y_{2})} (\begin{array}{c} 2 x y \\ x^{2} \end{array}) d \vec{r} = \int_{(x_{1}, y_{1})}^{(x_{2}, y_{2})} \vec{\nabla} (x^{2} y) d \vec{r} = {[x^{2} y]}_{(x_{1}, y_{1})}^{(x_{2}, y_{2})} = x_{2}^{2} y_{2} - x_{1}^{2} y_{1}

E

ist unabhängig vom gewählten Weg. Wenn Start- und Endpunkt gleich sind (also

x_{1} = x_{2}

und

y_{1} = y_{2}

) wird keine Arbeit geleistet und das Integral ist 0.

Du solltest also auf beiden Wegen (Quadrat und Kreis) als Ergebnis 0 erhalten...

Tipp: Achte auf die Richtung im Weg. Dein drittes Wegstück beim Quadrat geht z.B. in die falsche Richtung. Du befindest dich rechts oben und willst nach links oben. Also läuft

t

von 1 nach -1. Daher musst du die Integrationsgrenzen vertauschen.

TestAccount1245 aktiv_icon

14:14 Uhr, 17.05.2016

Ok, danke dir für die Erklärung.

Bin jetzt leicht verwirrt. :-)

Wie kommst du da auf

x^{2} y

?

Und beim Kreis muss ich das auch für die 4 Abschnitte machen, oder?

TestAccount1245 aktiv_icon

15:39 Uhr, 17.05.2016

Kannst du mir das bitte erklären? :-)

ledum aktiv_icon

15:59 Uhr, 17.05.2016

Hallo
1. bei dem

x^{2} y

wurde benutzt, dass

F

der grad eines Potentials ist. das Poteintial ist

x^{2} y

.
in welche Teile willst du denn deinen Kreis einteilen? wie kommt man einmal um den Kreis rum. bei dem Quadrat brauchtest du ka 4 verschiedene Wege, die nicht differenzierter aneinander passten, du hast aber nur einmal über den Weg integriert. ein bisse selbständig überlegen würde dir guttun!
ich denke du solltest wirklich das Integral Fdr lösen und nicht das Potential benutzen, es sei denn ihr hättet das schon besprochen.
Gruß ledum

TestAccount1245 aktiv_icon

20:41 Uhr, 17.05.2016

Laut @DerDepp sollte bei beiden 0 rauskommen.
Hab mein Integral für den Einheitskreis nun aufgeschrieben.
Aber da kommt ja nicht 0 raus. Wo ist mein Fehler?

ledum aktiv_icon

21:06 Uhr, 17.05.2016

hallo
dein Wertebereich für

t

ist sinnlos

(cos (- 1), sin (- 1)) = (0.54, - 0,84) (cos (1), sin (1)) = (0 . 54,0 . 84)

was soll es über dieses Kreisstück zu integrieren.
wo auf dem Kreis du anfängst ist egal, üblich ist bei

(1,0)

also

t = 1

wie weit musst du mit

t

gehen um wieder bei

(1,0)

anzukommen?
Das hatte ich schon mal gefragt, bitte gib auf posts Antworten.
(denk dran

t

nicht in Grad, sondern im Bogennass)
hast du den die Parametrisierung nicht wirklich verstanden?
Wenn du in

{cos}^{3}

noch coe^2=1-sin^2 einsetz werden die Integral einfacher
Gruß ledum

TestAccount1245 aktiv_icon

21:11 Uhr, 17.05.2016

Von 0 bis 2

π

ledum aktiv_icon

21:36 Uhr, 17.05.2016

warum fragst du? probier doch aus ob du damit einmal um den Kreis rumkommst
Gruß ledum

TestAccount1245 aktiv_icon

21:46 Uhr, 17.05.2016

Mein Quadrat stimmt ja dann auch nicht. Weil ich komm ja auf 8.

ledum aktiv_icon

01:17 Uhr, 18.05.2016

Hallo
die Fehler darin wurden dir gesagt.liest du eigentlich unsere antworten gründlich?
der post von

13 : 27

Uhr,

17.05.2016

war die 4 auch galsch sieh dir deinen Zettel und das Integral auf dem ersten weg npchmal an und arbeite langsamer und grümdlicher,
Gruß ledum

DerDepp aktiv_icon

01:58 Uhr, 18.05.2016

Hossa :-)

Wenn du das Potential nicht benutzen möchtest, hier die ausführliche Rechnung für den Kreis:

\vec{F} = (\begin{array}{c} 2 x y \\ y^{2} \end{array}); Weg C : \vec{r} = (\begin{array}{c} \cos ϕ \\ \sin ϕ \end{array}); ϕ \in [0; 2 π]

Auf dem Weg

C

ist

x = \cos ϕ

und

y = \sin ϕ

. Das kannst du in

\vec{F}

einsetzen:

\vec{F} = (\begin{array}{c} 2 \cos ϕ \sin ϕ \\ \sin^{2} ϕ \end{array})

Da nun

\vec{F}

nur noch von

ϕ

abhängt, bietet es sich an, über

d ϕ

statt über

d \vec{r}

zu integrieren. Dafür substituierst du wie folgt:

d \vec{r} = \frac{d \vec{r}}{d ϕ} d ϕ = (\begin{array}{c} - \sin ϕ \\ \cos ϕ \end{array}) d ϕ

Damit lautet das Arbeitsintegral:

E = \int_{C} \vec{F} d \vec{r} = \int_{0}^{2 π} (\begin{array}{c} 2 \cos ϕ \sin ϕ \\ \sin^{2} ϕ \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - \sin ϕ \\ \cos ϕ \end{array}) d ϕ = \int_{0}^{2 π} (- 2 \cos ϕ \sin^{2} ϕ + \sin^{2} ϕ \cos ϕ) d ϕ

= - \int_{0}^{2 π} \cos ϕ \sin^{2} ϕ d ϕ = {[- \frac{1}{3} \sin^{3} ϕ]}_{0}^{2 π} = 0

Bei dem Quadrat warst du doch schon fast richtig. Du hattest nur die Integrationsgrenzen vertauscht. Hier nochmal das Quadrat mit seinen 4 Teilwegen

C_{1}

bis

C_{4}

. Wir laufen links unten los und dann einmal linksherum um das Quadrat:

C_{1} : {\vec{r}}_{1} = (\begin{array}{c} t \\ - 1 \end{array}); t \in [- 1; + 1];

von links unten nach rechts unten

C_{2} : {\vec{r}}_{2} = (\begin{array}{c} 1 \\ t \end{array}); t \in [- 1; + 1];

von rechts unten nach rechts oben

C_{3} : {\vec{r}}_{3} = (\begin{array}{c} - t \\ 1 \end{array}); t \in [- 1; + 1];

von rechts oben nach links oben (andersrum als

C_{1}

)

C_{4} : {\vec{r}}_{4} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - t \end{array}); t \in [- 1; + 1];

von links oben nach links unten (andersrum als

C_{2}

)

Wie oben beim Kreis kannst du auf den 4 Teilwegen nun

x

und

y

durch die entsprechenden Wegkoordinaten ersetzen und nach

t

integrieren:

C_{1} : \vec{F} = (\begin{array}{c} 2 x y \\ y^{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \cdot t \cdot (- 1) \\ (- 1)^{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 t \\ 1 \end{array}); d {\vec{r}}_{1} = \frac{d {\vec{r}}_{1}}{d t} d t = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) d t \Rightarrow \vec{F} d {\vec{r}}_{1} = - 2 t d t

C_{2} : \vec{F} = (\begin{array}{c} 2 x y \\ y^{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \cdot 1 \cdot t \\ t^{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 t \\ t^{2} \end{array}); d {\vec{r}}_{2} = \frac{d {\vec{r}}_{2}}{d t} d t = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}) d t \Rightarrow \vec{F} d {\vec{r}}_{2} = t^{2} d t

C_{3} : \vec{F} = (\begin{array}{c} 2 x y \\ y^{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \cdot (- t) \cdot 1 \\ 1^{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 t \\ 1 \end{array}); d {\vec{r}}_{3} = \frac{d {\vec{r}}_{3}}{d t} d t = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \end{array}) d t \Rightarrow \vec{F} d {\vec{r}}_{3} = 2 t d t

C_{4} : \vec{F} = (\begin{array}{c} 2 x y \\ y^{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \cdot (- 1) \cdot (- t) \\ (- t)^{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 t \\ t^{2} \end{array}); d {\vec{r}}_{4} = \frac{d {\vec{r}}_{4}}{d t} d t = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \end{array}) d t \Rightarrow \vec{F} d {\vec{r}}_{4} = - t^{2} d t

Damit hast du das Arbeitsintegral reduziert:

E = \int_{C_{1}} \vec{F} d {\vec{r}}_{1} + \int_{C_{2}} \vec{F} d {\vec{r}}_{2} + \int_{C_{3}} \vec{F} d {\vec{r}}_{3} + \int_{C_{4}} \vec{F} d {\vec{r}}_{4}

= \int_{- 1}^{1} (- 2 t) d t + \int_{- 1}^{1} t^{2} d t + \int_{- 1}^{1} 2 t d t + \int_{- 1}^{1} (- t^{2}) d t

= \int_{- 1}^{1} (- 2 t + t^{2} + 2 t - t^{2}) d t = 0

TestAccount1245 aktiv_icon

18:50 Uhr, 18.05.2016

F ist ja (2xy, x^2)

Da komm ich dann beim Quadrat schon wieder nicht auf 0.

TestAccount1245 aktiv_icon

19:09 Uhr, 18.05.2016

Hat sich erledigt. Danke euch!

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