Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Aufeinanderfolgende Sattelpunkte??

Aufeinanderfolgende Sattelpunkte??

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Extrema, Extrempunkt, Extremwertproblem, Funktion, Funktion 2. Grades, Funktion 3. Grades, Sattelpunkt(e), Wendepunkt

tuerke1927 aktiv_icon

00:16 Uhr, 13.09.2010

Hey Leute,

also ich habe ein Problem, bei dem ich dringend eure Hilfe benoetige!

Und zwar wie kann ich mathematisch oder ueber die Logik beweisen, dass es nicht moeglich ist eine Funktion zu haben, bei der Sattelpunkt auf Sattelpunkt folgt ohne dazwischen liegenden Hoch- oder Tiefpunkt?? Also ein Graph, der praktisch aussieht wie eine Treppe, ganz viele aneinander gereihte Sattelpunkte.

Ich hoffe irgendwer kann mir helfen!:-)
Liebe Gruesse
Sascha

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

m-at-he

00:22 Uhr, 13.09.2010

Hallo,

laß Dir mal

sin (x) + x

plotten!

tuerke1927 aktiv_icon

00:31 Uhr, 13.09.2010

Hey

danke schonmal.. aber ist es auch irgendwie moeglich solch einen Graphen ohne Sin oder

cos

und sowas zu bekommen? MIt einer ganz normalen

F (x)

gleich

x^{3} + x ... .

. und so weiter?! Oder was ich ueberlegt hatte etwas wie

f (x) = x^{5} + {(x - 3)}^{5}

..und das sollte doch an sich 2 Sattelpunkte geben? einen verschoben.. aber warum geht das nich?

m-at-he

00:33 Uhr, 13.09.2010

Hallo,

das mit

x^{2}

und

x^{3}

kannst Du gleich wieder vergessen! Die können nicht mal 2 Sattelpunkte haben, überlege selber mal warum! Alles andere müßte man sich noch mal gründlicher überlegen! Ist zu dieser Zeit aber nicht mehr so schnell möglich!

m-at-he

00:58 Uhr, 13.09.2010

Hallo,

ich habe mir mal die Funktionenschar

{(x - 1)}^{2} \cdot {(x + 1)}^{2} \cdot x + t \cdot x

angesehen und nur beim Variieren von

t

festgestellt, daß bei ca.

t = 0,77

bis

t = 0,83

zwei Sattelpunkte entstehen müßten. Für

t < 0,77

gehen die Sattelpunkte in zwei Extrempunkte über und für

t > 0,83

sieht das nach 'nem Wendepunkt aus. Den exakten Parameter

t

zu berechnen ist aber nicht so einfach. Aber er existiert definitiv!

tuerke1927 aktiv_icon

01:04 Uhr, 13.09.2010

Wow!! Vielen Dank!!

Wie genau bist du jetzt auf diese Funktionenschar gekommen!?

m-at-he

01:21 Uhr, 13.09.2010

Hallo,

so, der exakte Wert ist tatsächlich

0,8

. Beweis:

f (x) = {(x - 1)}^{2} \cdot {(x + 1)}^{2} \cdot x + 0,8 \cdot x

f (x) = {((x - 1) \cdot (x + 1))}^{2} \cdot x + 0,8 \cdot x

f (x) = {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot x + 0,8 \cdot x

f (x) = (x^{4} - 2 \cdot x^{2} + 1) \cdot x + 0,8 \cdot x

f (x) = x^{5} - 2 \cdot x^{3} + x + 0,8 \cdot x

f (x) = x^{5} - 2 \cdot x^{3} + 1,8 \cdot x

f' (x) = 5 \cdot x^{4} - 6 \cdot x^{2} + 1,8

Die Nullstellen sind

\pm \sqrt{0,6}

und beide Nullstellen sind doppelte Nullstellen

5 \cdot {(x - \sqrt{0,6})}^{2} \cdot {(x + \sqrt{0,6})}^{2}

= 5 \cdot {((x - \sqrt{0,6}) \cdot (x + \sqrt{0,6}))}^{2}

= 5 \cdot {(x^{2} - 0,6)}^{2}

= 5 \cdot (x^{4} - 1,2 \cdot x^{2} + 0,36)

= 5 \cdot x^{4} - 6 \cdot x^{2} + 1,8

f'' (x) = 20 \cdot x^{3} - 12 \cdot x

0 = 20 \cdot x^{3} - 12 \cdot x \to x_{1} = 0

0 = 20 \cdot x^{2} - 12 \to 20 \cdot x_{2,3}^{2} = 12 \to x_{2,3}^{2} = 0,6 \to x_{2,3} = \pm \sqrt{0,6}

Diese Funktion ist eine ungerade ganzrationale Funktion mit positivem Leitkoeffizienten. Diese "geht von"

- \infty

"nach"

+ \infty

. Für Extremstellen kommen nur

- \sqrt{0,6}

und

\sqrt{0,6}

in Frage (notwendiges Kriterium ist nur an diesen beiden Stellen erfüllt). Wenn die Funktion dort Extremstellen hat, so muß es sich wegen des Kurvenverlaufs von

- \infty

nach

+ \infty

um einen Hochpunkt bei

- \sqrt{0,6}

und einem Tiefpunkt bei

\sqrt{0,6}

handeln. Dann liegen aber alle Funktionswerte an den Stellen zwischen

- \sqrt{0,6}

und

\sqrt{0,6}

zwischen dem maximalen Funktionswert

f (- \sqrt{0,6})

und dem minimalen Funktionswert

f (\sqrt{0,6})

. Es gilt aber:

f (- \sqrt{0,6}) ≅ - 0,74361280247182404195441895675822

f (\sqrt{0,6}) ≅ 0,74361280247182404195441895675822

Ganz offensichtlich kann

- \sqrt{0,6}

kein Hoch- und

\sqrt{0,6}

kein Tiefpunkt sein! Also sind es (wegen des Wertes der ersten Ableitung) Sattelpunkte!

PS: Wie man darauf kommt? Schau mal weiter oben nach, dort steht (mit etwas anderen Worten), daß der Grad mindestens 4 sein muß. Die (für mich) einfachste ganzrationale Funktion 4. Grades (von der trivialen,

x^{4}

selbst, abgesehen) ist die mit den beiden doppelten Nullstellen bei

- 1

und 1. Will man Extremstellen in der gesamten Funktion vermeiden, dann kann die Funktion nicht gerade sein, der einfachste Faktor um das zu vermeiden ist

x

. Jetzt braucht man "nur" noch ein möglichst einfaches Korrekturglied, also ein lineares Glied. Das habe ich mit dem Parameter

t

versehen und einen Plotter bemüht, der das

t

über einen Schiebeschalter variieren läßt. Leider ist das Ablesen des exakten Wertes nicht so einfach, die Funktion ist selbst bei sehr großer Auflösung am Bildschirm nur in einem bestimmten Rahmen ablesbar. Aber immerhin, der exakte Wert lag genau in der Mitte des abgelesenen Intervalls. Respekt an den Programmierer!

tuerke1927 aktiv_icon

01:43 Uhr, 13.09.2010

Hey

tut mir leid, aber du hast mich schon bei der ersten rechnung verloren!

warum wird aus der

0.8

auf einmla 1.8?!?!

und warum ist dein

f' (x) =

5x^4⋅3x^2

+ 1.8

?? Muesste sie nach deiner Rechnung mit F(x)=x^5-2⋅x^3+

1.8

⋅

x

nicht

F' (x) =

5⋅x^4- 6⋅x^2+

1.8

heissen?

m-at-he

01:49 Uhr, 13.09.2010

Hallo,

"warum wird aus der

0.8

auf einmla 1.8?!?!" - Für mich ist

x + 0,8 \cdot x

eben

1,8 \cdot x

"und warum ist dein

f' (x) =

5x^4⋅3x^2

+ 1.8

?? Muesste sie nach deiner Rechnung mit F(x)=x^5-2⋅x^3+

1.8

⋅

x

nicht

F' (x) =

5⋅x^4- 6⋅x^2+

1.8

heissen?" - erwischt! Kleiner Tipfehler. Daß ich "-6" gemeint habe sieht man ein paar Zeilen später, dort wo ich vorgeführt habe, daß

- \sqrt{0,6}

und

\sqrt{0,6}

doppelte Nullstellen sind. Dort steht am Ende die "-6" und diese Zeile sollte natürlich gleich dem Term für die 1. Ableitung sein. Also kleiner Abschreibefehler, die folgenden Berechnungen sind aber alle korrekt und wie sonst sollte bei der 2. Ableitung

- 12

entstanden sein, wenn ich da nicht vorher eine "-6" stehen gehabt hätte. Ich habe den Fehler trotzdem gleich korrigiert!

tuerke1927 aktiv_icon

01:56 Uhr, 13.09.2010

ich entschuldige mich nochmal.. denn ich kann immer noch nicht verstehen, wie x+0.8⋅x

= 1.8 X

sein kann!?

m-at-he

01:57 Uhr, 13.09.2010

Hallo,

was ist es denn Deiner Meinung nach?

tuerke1927 aktiv_icon

02:04 Uhr, 13.09.2010

Hey

Jetzt hab ich es auch raus! Fehler meinerseits!!

Vielen vielen Dank!!:-)
Wuensch dir noch eine schoene Nacht!

Sascha

m-at-he

02:05 Uhr, 13.09.2010

Hallo,

ebenfalls gute Nacht...

790463

790438

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?