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Aufgaben zur Partialbruchzerlegung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Nullstellen, Partialbruchzerlegung

Phantasie- aktiv_icon

21:08 Uhr, 02.07.2009

Hallo !!!

Diese Seite wurde mir ebenfalls weiterempfohlen :-)

Ich muss mir nun mit einer Präsentation in Mathe meine Note retten, habe dazu zwei Aufgaben zur Partialbruchzerlegung bekommen, die ich rechnen und vorstellen soll.

Jetzt komm ich nur leider überhaupt nicht weiter-.-

Die Funktionen lauten

f(x) = (15x²-70x-95):(x³-6x²-13x+42)

und

f(x) = (3x³+10x²-x):(xhoch4-2x²+1)

Handelt es sich hier um eine Partialbruchzerlegung mit dreifachen Nullstellen? Wenn ja wie gehe ich damit um?

Tut mir Leid, bin etwas verzweifelt, bin sowieso eine Null in Mathe, weiß gar nicht so recht wie ich das schaffen soll.
Es ist wahrscheinlich etwas viel verlangt, wenn es demnach zeitlich nicht klappen sollte, bedank ich mich trotzdem für diese tolle Seite!

Liebe Grüße,
Sonja

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
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22:54 Uhr, 02.07.2009

Wann musst du es denn vorstellen? Denn das dauert ein ganze Weile, sowas durchzurechnen.

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23:21 Uhr, 02.07.2009

Am kommenden Montag...

\frac{:}{}

magix aktiv_icon

23:24 Uhr, 02.07.2009

Dann bestehen Chancen, dass ich es bis dahin erklären kann, wie es geht. Erst mal musst du die Nullstellen des Ausdrucks im Zähler rausfinden. Bei Polynomen dritten Grades bedeutet das meist erst mal eine Nullstelle durch Raten und Ausprobieren finden. Wenn du die hast, dann Polynomdivision und Lösen der quadratischen Gleichung

z . B

. mit der Mitternachtsformel.

Meinst du, dass du das mal machen kannst? Ich helfe dir dann weiter, wenn du irgendwo hängst. Bin die nächsten Tage sicher öfter mal online und schau hier rein, ob es was Neues gibt.

Phantasie- aktiv_icon

23:34 Uhr, 02.07.2009

Ich denke das müsste ich noch hinbekommen ;-) ich würde es morgen Mittag hier reinschreiben, schaffe es heute wohl nicht mehr. Wäre klasse!! Vielen Dank schonmal!!

magix aktiv_icon

23:36 Uhr, 02.07.2009

Ok, so machen wie es und kämpfen uns da Schritt für Schritt durch.

Phantasie- aktiv_icon

23:42 Uhr, 02.07.2009

Oh ich bin so glücklich, jetzt habe ich ehrlich wieder Hoffnung gefasst

; D

Vielen vielen Dank wirklich, eine gute Nacht wünsch ich, bis morgen!! :-)
Liebe Grüße

magix aktiv_icon

22:08 Uhr, 03.07.2009

Na, was ist? Wir wollten doch weitermachen.

Phantasie- aktiv_icon

22:44 Uhr, 03.07.2009

Hallo!
Tut mir Leid für die späte Antwort. Habe heute viel rumgemacht mit den Funktionen, mir einige Videos auf Oberprima.com angeschaut, in verschiedenen Büchern gelesen und nach Deinem mir beschriebenen Verfahren gerechnet und hab tatsächlich die erste Funktion gelöst!!!

= D

Die Freude war überwältigend

; D

Jetzt müsste ich mich noch an die zweite Funktion ranmachen, habe heute von meinem Mathelehrer in Erfahrung gebracht dass es sich hierbei um eine doppelte Nullstelle handelt, und demnach ein anderes Verfahren angewandt wird

- . -

Weiß jetzt blöderweise nur nicht welches und wie ich das machen muss??
Mhh werde mal weiterrumstöbern und neues Basiswissen dazulernen...man man mir hat allein schon grundlegendes Wissen wie Polynomdivison, Nullstellen etc. gefehlt :-D)
Ich hoffe ich schreibe nicht zu spät...
vielen Dank trotzdem schonmal!!!!
Ganz liebe Grüße

UlrichA aktiv_icon

15:57 Uhr, 04.07.2009

Das Verfahren ist hier de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung
recht gut beschrieben.
Es funktioniert eigentlich immer gleich:
1. Suchen der Nullstellen des Nenners
2. Ansatz, dann diesen mit dem Hauptnenner multiplizieren
3. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems durch Koeffientenvergleich (Die Terme, die gleiche Exponenten von

x

haben, bilden jeweils eine Gleichung)
4. Lösen des Gleichungssystems
5. Probe

(\in

der Regel reicht das Verifizieren für einen x-Wert)

Die angefügten Bilder zeigen den Rechenweg für die Beispiele.

magix aktiv_icon

20:31 Uhr, 04.07.2009

Nein, nein, passt schon. Ich war heute den ganzen Tag unterwegs.

Gratuliere, dass du die erste Aufgabe gelöst hast. Das ist doch schon ein toller Erfolg. Vielleicht magst du mir ja noch schreiben, was rausgekommen ist.

@UlrichA: Ich glaube, du hast ganz am Anfang einen Abschreibfehler drin und deshalb stimmt dein Ergebnis aus nicht. Ich hab nämlich glatte Zahlen für

A, B

und C. Es heißt

15 x^{2} - 70 x - 95

.

Und auch bei der zweiten Aufgabe bin ich anderer Ansicht. Denn es ist nicht eine vierfache Nullstelle, sondern es sind zwei doppelte.

Phantasie- aktiv_icon

22:11 Uhr, 04.07.2009

Oh da bin ich ja erleichtert :-)

Habe für die erste Funktion folgendes rausbekommen:

\frac{7}{x - 2} + \frac{5}{x + 3} + \frac{3}{x - 7}

:-)

Mit der zweiten Funktion habe ich noch zu kämpfen, komm da irgendwie nicht weiter, habe mir nur sagen lassen, dass es, wie du auch geschrieben hast, eine doppelte Nullstelle ist...

Es hakt bei mir shcon bereits zu Beginn...Wie kann ich den Nenner denn überhaupt aufteilen? Es handelt sich ja hierbei um eine binomische Formel oder (zumindest wenn ich

x^{4}

mit

x^{2}

und

x^{2}

mit

x

ersetz)?

Vielen Dank auch für die eingescannten Lösungen, hab da aber leider auch andere Ergebnisse herausbekommen...(?)

Dann mach ich mich mal wieder daran die zweite Funktion auseinanderzunehmen...

; D

Liebe Grüße!!

magix aktiv_icon

23:27 Uhr, 04.07.2009

Hallo,

ich hab exakt dasselbe rausbekommen wie du. :-)

Bei der zweiten kann ich dir ja mal ein bisschen auf die Sprünge helfen:

x^{4} - 2 x^{2} + 1

ersetze

x^{2}

durch

z :

z^{2} - 2 z + 1

Dann Mitternachtsformel anwenden:

z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} = 1

Dann Rücksubstituieren:

z = x^{2} = 1

x = \pm \sqrt{1}

x_{1} = + 1

x_{2} = - 1

Der Ansatz muss dann lauten:

\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{D}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{3 \cdot x^{3} + 10 \cdot x^{2} - x}{x^{4} - 2 \cdot x^{2} + 1}

Phantasie- aktiv_icon

00:08 Uhr, 05.07.2009

Hallo!

Vielen vielen Dank!!

Konnte vorab jeden Schritt nachvollziehen aber wie kommt man nach dem Rücksubstituieren auf den weiteren Schritt??

Ist das eine "Formel", dass ich auf

\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{D}{{(x + 1)}^{2}}

komm?

Nehm ich die Linearfaktoren immer hoch zwei? Ohje tut mir Leid

⊙ O

magix aktiv_icon

00:21 Uhr, 05.07.2009

Hallo,

nach dem Rücksubstituieren hast du ja

x^{2}

stehen, aber du möchtest

x

haben. Also musst du die Wurzel ziehen und diese kann eben positiv oder negativ sein, deshalb

+ 1

und

- 1

.

Ja, das ist schon so eine Art Formel. Wenn man eine doppelte Nullstelle hat, dann muss man einen Bruch mit der einfachen Nullstelle und einen mit dem Quadrat anschreiben. Wenn du eine dreifache Nullstelle hättest, wäre es

^1,

"^2 und

^3

.

Verstehst du, was ich sagen will?

Und jetzt musst du nur wieder, wie bei der 1. Aufgabe auch, alles ausmultiplizieren und dann die Summanden mit gleichen Koeffizienten jeweils in einer Gleichung zusammenfassen.

Phantasie- aktiv_icon

00:29 Uhr, 05.07.2009

Heißt das also, wenn ich eine 3fache Nullstelle hätte, dass das dann

\frac{A}{...} + \frac{B}{{(...)}^{2}} + \frac{C}{{(...)}^{3}}

wäre??

Okay ich werds versuchen :-) Danke!

magix aktiv_icon

10:44 Uhr, 05.07.2009

Ja, genau das heißt es.

Phantasie- aktiv_icon

20:03 Uhr, 05.07.2009

Hallo!

Ich habe jetzt einen Lösungsansatz mit der Hilfe eines Vater von nem Freund ausgearbeitet...

Ich bin erst so verfahren, wie du es mir beschrieben hattest, sprich mit Substitution Mitternachtsformel etc, dass ich die Nullstellen

x 1 = 1

und

x 2 = - 1

herausbekommen habe.

Nun wurde der Nenner auseinandergenommen:

Nenner ist ja:

x^{4} + 2 x^{2} + 1 \to

also

{(x^{2} - 1)}^{2} \to (x^{2} - 1) (x^{2} - 1) \to (x + 1) (x - 1) (x + 1) (x - 1)

\to

demnach

{(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}

Nun würde das also so ausschauen:

\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} - x}{x^{4} - 2 x^{2} + 1} = \frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{D}{x - 1}

Dies multipliziere ich dann mit dem Hauptnenner, sodass der Nenner links wegfällt und ich folgende Gleichung erhalte:

3 x^{3} + 10 x^{2} - x = A {(x - 1)}^{2} + B (x + 1) {(x - 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2} + D (x - 1) {(x + 1)}^{2}

jetzt setze ich die beiden Nullstellen ein,

zunächst

x = 1

dann bekomme ich für

C = 3

heraus.

dann setze ich für

x

die zweite Nullstelle ein, also

x = - 1

dann erhalte ich den Wert für A

\to A = 2

Nun hat der Vater gesagt, man könne für

x = 0

einsetzen, dass der Term (nenn ich das so?;D) einfacher wird:

A {(0 - 1)}^{2} + B \cdot 1 {(- 1)}^{2} + C {(1)}^{2} + D (- 1) {(1)}^{2} = 0

= A + B + C - D = 0

jetzt setze ich die Werte von A und

C

ein:

2 + B + 3 - D = 0

\to B = D - 5

jetzt hat er gemeint setze ich eine beliebige Zahl ein (Werte einsetzen), geshcickt ist hier

x = 2,

also

A \cdot 1^{2} + B \cdot 3 \cdot 1^{2} + C \cdot 3^{2} + D (1) \cdot 3^{2} 024 + 40 - 2

= A + 3 B + 9 C + 9 D = 62

jetzt sete ich

A, B,

und

C

ein und erhalte

2 + 3 (D - 5) + 9 \cdot 3 + 9 \cdot D = 62

= 2 + 3 D - 15 + 27 + 9 D = 62

= 12 D + 14 = 62

= 12 D = 48

\to D = 4

Oh gott...die Werte stimmen..denke ich...aber ich wär da im Leben nicht selber draufgekommen...

wa sich überhaupt nicht verstehe, wie man immer zu Beginn auf die Zerlegung des Nenner in Linearfaktoren kommt...wieso heißt das überhaupt doppelte Nullstelle?? Was genau ist doppelt??

Hier handelt es sich ja um eine zweifache dopp. Nullstelle oder?? Ich verstehe nicht so recht was doppelt heißt in dem Zusammenhang...auwei das kann was werden...

liebe grüße!!!!!!! und danke!!

magix aktiv_icon

20:21 Uhr, 05.07.2009

Hallo,

die Zerlegung in Linearfaktoren ist eigentlich gar nicht so schwer. Bei einem Polynom 2. Grades nimmst du dafür die "Mitternachtsformel". Bei einem Polynom 3. Grades musst du durch Probieren eine Nullstelle erraten. Das geht ja ganz schnell, wenn man sie einfach in den Taschenrechner eingibt. In der Regel fängt man hier mit

1, - 1, 2, - 2

an. Wenn die Lösung gefunden ist, muss man durch Polynomdivision auf eine Polynom 2. Grades reduzieren, das dann wie genannt gelöst wird.
Bei Polynomen 4. Grades wird es wegen der leichteren Lösbarkeit öfter so sein, dass sie wie in dem jetzigen Fall durch Substitution gelöst werden können. Das geht natürlich nur, wenn die ungeraden Exponenten fehlen.
Ansonsten gibt es noch den Sonderfall, dass

x

oder

x^{2}

ausgeklammert werden kann.
Alle komplizierteren Fälle kann man vermutlich außer Acht lassen, weil die nur bei psychopathischen Lehrern vorkommen, die ihre Schüler quälen wollen. Da würde ich mich sowieso weigern. ;-)

Doppelte Nullstelle: Der Grad eines Polynoms gibt auch an, wieviele Nullstellen es maximal haben kann. Bei einem Polynom 4. Grades gibt es also 4 Lösungen oder Nullstellen. Es kann aber sein, dass zwei Lösungen identisch sind. Dann hat man eine doppelte Nullstelle. du hast ja selbst gesehen, dass hier zweimal

- 1

und zweimal 1 rauskommt. Wie du ganz richtig bemerkt hast, gibt es also zwei doppelte Nullstellen.

Phantasie- aktiv_icon

21:19 Uhr, 05.07.2009

Hey!!!

Oh Gott, vielen vielen vielen vielen Dank!!!!!!!!!! Du hast mir einiges an Arbeit und Unklarheiten genommen, danke!!!!!

Ich glaub das hab ich dann jetzt soweit verstanden, zumindest vom Sinn her...falls der Lehrer fragen sollte

; D

Wie ist denn das mit meiner Vorgehensweise hier im zweiten Beispiel? Ist da sgut nachvollziehbar??

Mir ist vor allem der Punkt, wenn ich

x = 0

setze, dass der Term stark vereinfacht wird, etwas....ja...schon nachvollziehbar, aber wie kommt man darauf?

Das ist alles so ein Wirrnis von Methoden und einsetzen etc.

O . o

da blick doch keiner mehr durch, die armen Mitschüler

- . -

magix aktiv_icon

22:16 Uhr, 05.07.2009

Ich finde das Thema insgesamt für die Schule schon ganz schön schwierig. Bei uns ist das nicht mal Stoff vom Leistungskurs, sondern erst an der Uni.

Bei der Erstellung der linearen Gleichungen für

A, B, C,

etc. gibt es zwei Vorgehensweisen. Die eine ist die, die der Vater mit dir gemacht hat. Die andere ist der Koeffizientenvergleich. Dabei werden

z . B

. alle Summanden, die ein

x^{3}

haben rausgezogen und zu einer Gleichung zusammengefasst, dann alle mit

x^{2}

usw. Das ist meiner Meinung nach leichter zu merken und logischer. Aber wenn du es jetzt anders gemacht hast, ist das nochmal eine Heidenarbeit, das anders darzustellen. Und nachdem es mit der Methode auch geht, ist es ja nicht verkehrt.

Im Grunde genommen ist das Verfahren, das du angewendet hast, so ähnlich wie wenn ich eine Funktion habe und ihren Graphen zeichnen möchte. Dann mache ich ja auch eine Wertetabelle, entweder stur für

x = 0, 1, 2,

usw. oder indem ich markante Punkte wie Nullstellen, Extrempunkte etc. in die Funktion einsetze und die y-Werte dazu finde. Ich weiß nicht, ob du die Parallele erkennen kannst. Was ich damit sagen will, ist, dass man relativ viel Freiheit hat, was man für

x

einsetzt, um die verschiedenen Gleichungen aufzustellen. Man braucht bei 4 Unbekannten eben vier Gleichungen, die aber nicht so ähnlich sein dürfen, dass man durch multiplizieren von der einen zur anderen kommt. Das ist eigentlich der ganze Witz, der dahintersteckt.

Phantasie- aktiv_icon

22:26 Uhr, 05.07.2009

Ah okay , ich glaube das habe ich soweit verstanden :-)

Jetzt ists natürlich ein wenig blöd dass ich für beide Beispiele die Werte-Einsetz Methode benutzt habe..

\frac{:}{}

Naja, dann werde ich eben die Sache mit dem Koeffizientenvergleich anhand eines anderen Beispiels kurz vorstellen...dass ich wenigstens etwas Abwechslung habe ;-)

Vielleicht lässt sich ja das erste Beispiel noch über den K-Vergleich rechnen...also funktioniert ja sicher, ich schau mal ob ich das noch hinbekomm ;-)

magix aktiv_icon

22:30 Uhr, 05.07.2009

Wenn nicht, dann mach dir keinen Stress damit. Wenn du die beiden Aufgaben vorstellst, hast du eh schon eine Menge geleistet, würde ich mal sagen. Außerdem ist die Stunde dann sicher vorbei, denn so schnell geht das ja auch wieder nicht zu erklären.

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22:36 Uhr, 05.07.2009

mhh das hat jetzt soweit sogar geklappt...weiß aber gerade nich wirklich weiter...bin mit dem K-Vergleich bis zu folgender Gleichung gekommen:

15 x^{2} - 70 x - 95 = x^{2} (A + B + C) + x (- 4 A - 9 B + C)

jetzt muss ja

(A + B + C) = 15

ergeben, die zweite Klammer

- 70

wenn ich die Lösungen einsetze stimmt das auch...aber wie komme ich von dieser Gleichung auf die Lösung?

magix aktiv_icon

22:53 Uhr, 05.07.2009

(I) : A + B + C = 15

(II):

- 4 A - 9 B + C = - 70

(III):

- 21 A + 14 B - 6 C = - 95

(I)-(II):5A+10B=85|:5

A + 2 B = 17

A = 17 - 2 B

(I) : 17 - 2 B + B + C = 15 | - 17

- B + C = - 2

C = - 2 + B

in (III):

- 21 (17 - 2 B) + 14 B - 6 (- 2 + B) = - 95

- 357 + 42 B + 14 B + 12 - 6 B = - 95

50 B = 250

B = 5

A = 17 - 2 B = 17 - 10 = 7

C = - 2 + B = - 2 + 5 = 3

Phantasie- aktiv_icon

23:03 Uhr, 05.07.2009

oops ich hatte die dritte zeile ja total vergessen...
vielen vielen dank, ich erinnere mich wieder an das verfahren mit dem gleichungssystem!!!

=)

danke!!!

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