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Bestimmtes Integral

Schüler

Tags: bestimmt, Integral, rechenweg

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15:03 Uhr, 10.10.2016

Hey zusammen.

Wir haben als neues Thema die bestimmte Integralrechnung.
Das mit dem unbestimmten Integral habe ich soweit verstanden.
Ich denke, ich erläutere euch mal, was ich soweit vom bestimmten Integral verstanden habe. Dann könnt ihr mir da vielleicht auch helfen.
Also es gibt beim bestimmten Integral ja einmal die Ober- und die Untergrenze des Integrals und der Sinn ist doch, eine Fläche in einem Graphen zu berechnen. Die Obergrenze vom Integral muss immer um eines erhöht werden bei der Berechnung. Der Sinn der bestimmten Integralrechnung liegt soweit ich verstanden habe darin, die Flächen, an denen sich die Achsen schneiden zu berechnen.

Als Erklärung habe ich dieses Video angeschaut und dann mit dem Rechnen begonnen: www.youtube.com/watch?v=Aja0tTfXWvU

Folgende Angaben habe ich bei 3 Rechnungen:
Integral von 1 bis

4 x^{2} d x (x^{2}

steht alleine da und gehört nicht zu

4)

Lösung:

\frac{1}{3} + c - 0 + c

Integral von 4 bis

52 d x (2

und

d x

steht alleine da)
Lösung:

3 + c - 3 + c

Integral von 1 bis

2 x^{- 3} d x (x

hoch

- 3)

Lösung:

2 x + c - 0 - c

Diese habe ich so gelöst wie der Typ in dem Video und ganz am Schluss nach allen Rechnungen kommt das raus beim jeweiligen Beispiel und bin darauf gekommen. Sorry, dass die Angabe nicht perfekt ist, aber ich weiß nicht, wie der Formeleditor funktioniert.

Könnt ihr mir sagen, ob das irgendwie stimmt?
Bitte mir auch genau euren Lösungsweg sagen wie ihr darauf kommt?

Wir haben nämlich einen dieser fähigen Mathelehrer, die den Stoff durchdrücken, nicht erklären und nur irgendetwas auf der Tafel rechnen.
Sonst müsste ich hier nicht fragen ;-)

Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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15:04 Uhr, 10.10.2016

Im Anhang noch mal klar die Angabe als Foto.

Stephan4

15:28 Uhr, 10.10.2016

Kennst Du Matheguru?

Der rechnet alle Deine Integrale aus und ist hier
http//matheguru.com/rechner/integrieren/
rund um die Uhr erreichbar.

Den Ausdruck

\int_{1}^{4} x^{2} \cdot d x = 21,

aber ohne C. Das

C

fällt raus, wenn man die Grenzen einsetzt.

Obige Zeile schreibt man hier am Besten so:
"int_1^4 x^2*dx=21"

Das

C

kommt nur, wenn man keine Grenzen einsetzt:

\int x^{2} \cdot d x = \frac{x^{3}}{3} + C

(Auch das kann Matheguru)

:-)

Bummerang

15:30 Uhr, 10.10.2016

Hallo,

"Die Obergrenze vom Integral muss immer um eines erhöht werden bei der Berechnung. Der Sinn der bestimmten Integralrechnung liegt soweit ich verstanden habe darin, die Flächen, an denen sich die Achsen schneiden zu berechnen."

Da hast Du einiges falsch verstanden!

\int_{1}^{4} x^{2} d x = 21

\int_{4}^{5} 2 d x = 2

\int_{1}^{2} x^{- 3} d x = \frac{3}{8}

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15:45 Uhr, 10.10.2016

@Stephan4 Nein, habe ich nicht gekannt.
Vielen Dank für den Tipp.

Aber wichtig ist mir die Lösung zu verstehen und diese nicht nur vorgesetzt zu bekommen.

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15:47 Uhr, 10.10.2016

@ Bumerang Könntest du mir bitte erklären, wie ich richtig zu verstehen habe und mir deine Lösung erklären?

Deshalb fragt man ja hier, wenn man was falsch verstanden hat :-)

Bummerang

16:04 Uhr, 10.10.2016

Hallo,

"Die Obergrenze vom Integral muss immer um eines erhöht werden bei der Berechnung."

Das versteht keiner und mir ist Zusammenhang mit Integration auch nichts bekannt, was in diese Richtung geht. Was soll man da noch sagen? Aus den Fingern gesogen hast Du das hoffentlich nicht, bleibt nur, dass Du irgendwas falsch verstanden hast. Aber was, das ist hier echt nicht mehr nachvollziehbar. Jedenfalls ist es so, wie es hier steht grober Unfug!

"Der Sinn der bestimmten Integralrechnung liegt soweit ich verstanden habe darin, die Flächen, an denen sich die Achsen schneiden zu berechnen."

Die Achsen schneiden sich orthogonal genau ein Mal im Koordinatenursprung! Die Flächen zwischen den Achsen sind immer unendlich! Hier ist wenigstens ansatzweise zu vermuten, dass Du Achsen schreibst aber Graphen meinst. Allerdings reduziert das die Intgralrechnung auf einen Bruchteil dessen, was man damit machen kann. Der Ursprung dieses Satzes könnte also gelautet haben: "Ein Sinn der bestimmten Integralrechnung liegt darin, die Flächen zwischen zwei Schnittpunkten von Graphen zu berechnen."

Meine Lösungen basieren darauf, dass ich einfach eine der Grundformeln für das bestimmte Integral korrekt anwende, die da lautet:

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

wobei gilt, dass

\frac{d}{d x} F (x) = f (x)

bzw. mit Worten:

F

ist eine Stammfunktion von

f

. Wohlgemerkt EINE Stammfunktion und nicht ALLE Stammfunktionen, die man durch die additive Konstante

c

erhält. Somit taucht

c

in keinem Zwischenschritt mehr auf.

Da Du geschrieben hast, dass Du das mit dem unbestimmten Integral verstanden hast, sollte es Dir auch nicht schwer fallen eine Stammfunktion für jede dieser drei einfachen Funktionen zu finden. Der Rest ist einsetzen und richtiges Rechnen! Für die erste Aufgabe hast Du eine Stammfunktion von Stephan4 erhalten, versuche damit das Ergebnis von

21

zu errechnen!

ledum aktiv_icon

16:21 Uhr, 10.10.2016

Hallo
1. du sagst du verstehst das allgemeine Integral. Wie habt ihr das definiert? einfach als Umkehrung des Differenzieren? Das ist eigentlich nicht richtig. Denn das Integral existiert auch für Funktionen, wo es diese Umkehrung nicht gibt.
2. Wenn du

F (x) = \int_{a}^{x} f (x) d x

bildest ergibt das Die Fläche unter dem Graphen von

f (x),

wobei Flächenteile unterhalb der Achse negativ zählen
Wenn du jetzt

x = b

setzest, hast du die Fläche zwischen a und

b

. wenn

f (x)

zwischen a und

b

positiv ist, ist das der Flächeninhalt unterhalb

f (x)

und der ist

F (b) - F (a)

wenn es eine Funktion

F (x)

gibt mit

F' (x) = f (x)

(alo dein "allgemeines Integral, kannst du so die Fläche berechnen.
Beispiel Flache unterhalb

f (x) = x^{2}

zwischen 1 und 4 du kennst das Integral

\int x^{2} d x = \frac{1}{3} x^{3} + C

also ist

F (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C

F (4) - F (1) = \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} = \frac{63}{3} = 21

FE (FE= Flächeneinheit.
Nun habt ihr offensichtlich die Fläche unterhalb

f (x)

in schmale Streifen der Briete

Δ x

geteilt, bzw die Strecke von a bis

b \in n

Teile geteilt und die Summe über alle so entstehenden Rechtecke, die unterhalb von

f

liegen gebildet, das ist die "Untersumme"
oder Alle Rechtecke die gerade oberhalb liegen, das ist die Obersumme.
für einfache Funktionen wie

f (x) = 2

sind alle diese Rechtecke gleich hoch nämlich 2 und alle Breiten aufaddiert ergeben

b - a,

die Flache von 4 bis 5 ist also einfach

(5 - 4) \cdot 2 = 2

und eigentlich braucht man dazu keine Integralrechnung.
Ich denke ihr hattet ein Bildchen ähnlich dem von mir (schlecht) gezeichneten um den Flächeninhalt zu bestimmen?
Das braune ist die Untersumme, 2 grüne Ergänzungen zu der Obersumme sind eingezeichnet.
Jetzt kann man beweisen (versucht euer L. das?) dass wenn man die Streifen immer schmaler macht dass dann dier Flächeninhaltsfunkion

F (x),

die die Fläche zwischen a und

x

angibt, abgeleitet

f (x)

gibt.
Wenn du willst kann man dir das erklären. Wenn man also weiss, von was

f (x)

die Ableitung ist kann man die Fläche damit bestimmen.
Das Video erklärt nur wie man rechnet, nicht warum, drum find ich es nicht gut, und du hast es offensichtlich auch nicht verstanden.
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

16:22 Uhr, 10.10.2016

F (x) = \int_{a}^{x} f (x) d x

bildest ergibt das Die Fläche unter dem Graphen von

f (x),

wobei Flächenteile unterhalb der Achse negativ zählen
Wenn du jetzt

x = b

setzest, hast du die Fläche zwischen a und

b

. wenn

f (x)

zwischen a und

b

positiv ist, ist das der Flächeninhalt unterhalb

f (x)

und der ist

F (b) - F (a)

wenn es eine Funktion

F (x)

gibt mit

F' (x) = f (x)

(alo dein "allgemeines Integral, kannst du so die Fläche berechnen.
Beispiel Flache unterhalb

f (x) = x^{2}

zwischen 1 und 4 du kennst das Integral

\int x^{2} d x = \frac{1}{3} x^{3} + C

also ist

F (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C

F (4) - F (1) = \frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} = \frac{63}{3} = 21

FE (FE= Flächeneinheit.
Nun habt ihr offensichtlich die Fläche unterhalb

f (x)

in schmale Streifen der Briete

Δ x

geteilt, bzw die Strecke von a bis

b \in n

Teile geteilt und die Summe über alle so entstehenden Rechtecke, die unterhalb von

f

liegen gebildet, das ist die "Untersumme"
oder Alle Rechtecke die gerade oberhalb liegen, das ist die Obersumme.
für einfache Funktionen wie

f (x) = 2

sind alle diese Rechtecke gleich hoch nämlich 2 und alle Breiten aufaddiert ergeben

b - a,

die Flache von 4 bis 5 ist also einfach

(5 - 4) \cdot 2 = 2

F (x),

die die Fläche zwischen a und

x

angibt, abgeleitet

f (x)

gibt.
Wenn du willst kann man dir das erklären. Wenn man also weiss, von was

f (x)

Stephan4

16:30 Uhr, 10.10.2016

Nicht die Obergrenze, sondern der Exponent von

x

wird um 1 erhöht. Vielleicht hast Du das verwechselt.

Der Ausdruck "Aufleiten" als Gegenteil vom Ableiten im Video ist eher verpönt. Besser klingt: "Integrieren" oder "Stammfunktion ermitteln".

Im Video ist ein Klammerfehler gleich zu Beginn, ein oft gemachter Fehler. Hat aber hier keine Auswirkung.

\int x^{2} + e^{x} d x

ist falsch, richtig wäre:

\int (x^{2} + e^{x}) d x

. Der ganze Ausdruck wird mit

d x

multipliziert.

Denn so kann man die Integrale einzeln schreiben und einzeln ausrechnen, wie es im Video auch erwähnt wurde.

\int (x^{2} + e^{x}) d x = \int x^{2} d x + \int e^{x} d x

.

:-)

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10:33 Uhr, 11.10.2016

Vielen Dank für eure Antworten. Bis jetzt habe ich es händisch versucht.
Wenn ich ein Integral mit dem Taschenrechner berechnen oder überprüfen will, wie muss ich das eingeben?
Habe einen TI-82 STATS von Texas Instruments.

Bummerang

10:39 Uhr, 11.10.2016

Hallo,

"Wenn ich ein Integral mit dem Taschenrechner berechnen oder überprüfen will, wie muss ich das eingeben?"

Hast Du Dir schon mal Gedanken darüber gemacht, wozu die Hersteller immer so viel Papier, gebunden zu einem kleinen Buch, in die Packung stecken? Wenn nicht, dann denke mal nach, was sich hinter dem ganzen Papier verbergen könnte!

PS: Immerhin schreibst Du nicht, wie ein anderer vor kurzem, dass Du einen TI-82 von STATS hättest

. .

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16:51 Uhr, 11.10.2016

Ja, genau ich meinte natürlich ,dass die Hochzahl erhöht wird und nicht die Obergrenze.
Kann nicht jeder so perfekt artikulieren wie ihr Mathe-Genies.

Mit euren Erklärungen habe ich es aber jetzt recht gut verstanden.
Das ist eben das Problem bei den Youtube-Videos. Jeder erklärt es ein bisschen anders, vielleicht auch noch falsch und dann soll man was verstehen. Abgesehen vom Lehrer in der Schule, von denen eh die meisten nichts richtig erklären können.

Kennt ihr Plattformen, wo man sich Videos für Mathe anschauen kann?
Videos sind halt immer was anderes, als es in einem Text beschrieben zu bekommen.

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16:53 Uhr, 11.10.2016

Kleine Bemerkung am Rande:
Ich finde es sehr toll, dass es Foren wie diese gibt und auch Menschen, die sich in ihrer Freizeit damit beschäftigen, hier anderen zu helfen.
Wenn jemand meint, dass der Fragesteller generell nichts versteht oder auch angeblich nicht fähig ist eine Lösung zu verstehen, dann darf man seine Meinung haben, muss aber nicht ausfallend werden.

Es sind hier alle freiwillig und wer keine Probleme in Mathe hat, dann gäbe es dieses Forum logischerweise gar nicht.

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17:05 Uhr, 11.10.2016

Ehrlich gesagt hat der Lehrer uns gar nichts erklärt, wie halt das immer so ist. Zu Hause verstehe ich mehr, wenn ich es hier erklärt bekomme oder in Videos, als im Unterricht.

Der Lehrer pappt nur die Theorie auf die Tafel, rechnet irgendetwas vor ohne etwas zu erklären und dann sollen wir nach dem Motto "Durch Probieren lernt man" irgendetwas rechnen und riechen, wie das gehen soll.

Das heißt also, ich brauche gar nicht so viele Rechenschritte zu machen, wie in diesem Video?

So steht die Lösung zur ersten Aufgabe im Lösungsbuch.
Zuerst integriert man

x^{2}

nach der Potenzregel und erhält

\frac{x^{3}}{3}

. Nachvollziehbar.
Dann setzt man die obere Grenze

4,

also

\frac{64}{3}

und untere Grenze

1 \frac{1}{3}

ein, und subtrahiert die Ergebnisse voneinander.

\frac{64}{3} - \frac{1}{3} = 21

Frage: Warum für die obere Grenze

64

? Woher kommt das

64

?

Lösung zur 2. Aufgabe.

Zuerst integriert man 2 nach der Potenzregel und erhält 2 mal

x

.
Dann setzt man die obere Grenze

5 - 10

und untere Grenze

4 - 8

ein und subtrahiert die Ergebnisse voneinander.
Ergebnis:

10 - 8 = 2

Hier wurde die Ober- und Untergrenze des Integrals einfach verdoppelt und dann jeweils voneinander subtrahiert.
Aber warum?

Ihr sagtet doch, dass die Exponenten erhöht werden, nicht aber Ober- und Untergrenze. Laut Lösungsbuch ist es aber schon so.

Bitte helft mir, bevor die Verwirrung komplett ist ;-)

Stephan4

19:00 Uhr, 11.10.2016

Du musst die Ober- und Untergrenze für

x

einsetzen.
Aber erst integrieren.

\int x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3}

Und da 4 und dann 1 einsetzen. Das schreibt man so:

\int_{1}^{4} x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} |_{1}^{4}

oder auch

{[\frac{x^{3}}{3}]}_{1}^{4}

Schreibweise hier
"x^3/3|_1^4" für

\frac{x^{3}}{3} |_{1}^{4}

[

x^3/3]_1^4" für

{[\frac{x^{3}}{3}]}_{1}^{4}

Die Grenzen einsetzen:

\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3} = \frac{64}{3} - \frac{1}{3} = \frac{63}{3} = 21

So wird es auch Schritt für Schritt in
http//matheguru.com/rechner/integrieren/
vorgerechnet, auch das zweite Beispiel. Einfach Formel und Grenzen eintragen.

Videos dazu gibt es wie Sand am Meer. Schriftliche Erläuterungen auch, was Dir persönlich lieber ist, oder Du konsultierst mal Dein Mathebuch.

:-)

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12:58 Uhr, 13.10.2016

Vielen Dank für die ausführlichen Erläuterungen und Erklärungen.
Damit und auch mir so manchen Erklärungen aus dem Netzt habe ich es jetzt soweit verstanden.

Das einzige nervige finde ich, dass man hier von MatheOnline immer per Mail oft schon nach

24

Stunden kontaktiert und gefragt wird, ob noch Interesse an der Frage besteht, weil man nichts mehr gepostet hat.

Es gibt hier sicherlich Leute, die nur ihr Problem posten und dann nicht mehr antworten.

Aber dann gibt es noch Menschen, die still mitlesen und dadurch lernen oder einfach auch andere Dinge zu tun haben, als permanent auf eine eintreffende Antwort zu hoffen.

Aber aufgrund Ersteren auch verständlich.

Lg
Account1

Bummerang

13:06 Uhr, 13.10.2016

Hallo,

welches Problem hast Du damit, einen Thread, bei dem es seit

24

Stunden keine weiteren Einträge mehr gab, weil er erledigt ist, zu schließen? Und wenn er noch nicht erledigt ist einfach mal konkret nachzufragen oder um weitere Hilfe zu bitten. Und wenn es in den letzten

24

Stunden doch noch Einträge von "Helfern" gab, was hindert Dich daran, Dich einfach mal relativ zeitnah zu bedanken? Das muss nicht permanent sein, zeitnah reicht da schon! Auch die, die Dir geholfen haben warten oft, ob es sich damit erledigt hat oder noch Rückfragen kommen. Wenn dann nichts mehr kommt ist das auch für die unbefriedigend. Da sind

24

Stunden eigentlich schon zu lang!

Ich denke, dass eine solche Erinnerungsfrist einerseits gerechtfertigt ist und die

24

Stunden andererseits ein für beide Seiten akzeptabler Kompromiss sind.

Account1 aktiv_icon

15:37 Uhr, 16.10.2016

Ich hätte noch eine Rückfrage.

Ich habe jetzt alles soweit verstanden, was für die Berechnung des bestimmten Integrales wichtig ist.
Integrieren, Ober- und Untergrenze einsetzen und dann ausrechnen.
Das habe ich jetzt so mit mehreren Beispielen geübt.
Der Exponent wird erhöht und die Potenzregeln müssen beachtet werden.

So weit so gut, alles verständlich.

Was ich bis jetzt immer noch nicht verstehe: Schaue ich ins Lösungsbuch, dann wird dort für die Berechnung des Ergebnisses die Ober- und Untergrenze vom Integral immer verdoppelt und dann ausgerechnet.

Bei Beispiel

b

zum Beispiel steht so die Lösung:
Zuerst integriert man 2 nach der Potenzregel und erhält 2 mal

x

.
Dann setzt man die obere Grenze

5 - 10

und untere Grenze

4 - 8

ein, und subtrahiert die beiden Ergebnisse voneinander:

10 - 8 = 2

Vielleicht könnt ihr mir das beantworten und ob es relevant für die Integralrechnung ist.

Warum zum Teufel wird die Obergrenze und Untergrenze des Integrals hier verdoppelt. Ist das nur bei diesem Beispiel so und untelevant für die Integralrechnung?
Oder ist die Lösung im Lösungsbuch falsch?

Bummerang

17:34 Uhr, 16.10.2016

Hallo,

"Ich habe jetzt alles soweit verstanden, was für die Berechnung des bestimmten Integrales wichtig ist.
Integrieren, Ober- und Untergrenze einsetzen und dann ausrechnen.
Das habe ich jetzt so mit mehreren Beispielen geübt.

. .

.
So weit so gut, alles verständlich.

Schaue ich ins Lösungsbuch, dann wird dort für die Berechnung des Ergebnisses die Ober- und Untergrenze vom Integral immer verdoppelt und dann ausgerechnet.

Bei Beispiel

zum Beispiel steht so die Lösung:
Zuerst integriert man 2 nach der Potenzregel und erhält 2 mal

x

.
Dann setzt man die obere Grenze

5 - 10

und untere Grenze

4 - 8

ein, und subtrahiert die beiden Ergebnisse voneinander: 10-8=2"

Wenn man das liest, dann versteht man die Welt nicht mehr!

Einerseits hast Du viel geübt (wie schwer waren denn diese Aufgaben) und Du hast alles soweit gut verstanden (laut eigener Aussage) und dann scheiterst Du an einer konstanten Funktion, von der Du eine Stammfunktion kennst beim Einsetzen der Zahlen!

Wenn man

z . B

5

in die Funktion

2 \cdot x

einsetzt, dann kommt da eben

10

raus und wenn man dort 4 einsetzt kommt da eben 8 raus. Dann muss man auch für die Differenz der Funktionswerte mit

10

und 8 rechnen und nicht mit 5 und 4. Sonst könnte, man sich die ganze Suche nach einer Stammfunktion sparen und käme bei allen Funktionen mit den selben Grenzen auf

5 - 4 = 1

. "Ein Traum für alle Schüler!" höre ich schon alle schreien, die sich beim integrieren schwer tun!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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