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Beweis, Lage von Wendepunkt

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Beweis, Extremstellen, Ganzrationale Funktion 3. Grades, Polynomfunktion 3. Grades, Wendepunkt

Cenes aktiv_icon

12:04 Uhr, 21.12.2015

Erstmal Hallo zusammen,

Ich soll beweisen, dass der Wendepunkt einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, immer in der Mitte zwischen den Extremstellen liegt.

Mein bisheriger Lösungsansatz sieht wie folgt aus:

1. Aufstellen von Allgemeine Funktionsgleichung ganzrationaler Funktion 3. Grades und 2 mal ableiten.

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

f' (x) = 3 a x^{3} + 2 b x + c

f'' (x) = 6 a x + 2 b

2. Ermittlung des Wendepunktes

f'' (x) = 0 = 6 a x + 2 b

x = \frac{- 2 b}{6 a}

oder

\frac{- b}{3 a}

3. Ermittlung der Extremstellen

f' (x) = 0 = 3 a x^{2} + 2 b x + c

x 1 =

(-b+√b^2-3ac)

/ 3 a

x2=-b-√b^2-3ac

/ 3 a

3. Mithilfe des Intervallmittelpunktes überprüfen ob Wendepunkt Extremstellen halbiert

x 1 = \frac{x 2 - x 1}{2}

Durch Rechnereien und Kürzungen bin ich an diesem Punkt gelandet:

(-b+√b^2-3ac)/3a

+

(-√b^2-3ac - √b^2 -3ac)/6a

Jetzt müsste ich irgendwie die Wurzeln und die

6 a

wegbekommen, dann bliebe nur noch

\frac{- b}{3 a}

übrig und somit wäre es bewiesen dass der Wendepunkt bei ganzrationalen Funktionen 3. Grades immer in der Mitte der Extremstellen liegt.

Brauche dringend Hilfe! Danke im voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

12:20 Uhr, 21.12.2015

. .

. Extremstellen:

x^{2} + \frac{2 \cdot b}{3 \cdot a} \cdot x + \frac{c}{3 \cdot a} = 0

{(x + \frac{b}{3 \cdot a})}^{2} = {(\frac{b}{3 \cdot a})}^{2} - \frac{c}{3 \cdot a}

x = - \frac{b}{3 \cdot a} \pm \sqrt{{(\frac{b}{3 \cdot a})}^{2} - \frac{c}{3 \cdot a}}

. .

. nun sollte es bei dir klingeln!

;-)

rundblick aktiv_icon

12:20 Uhr, 21.12.2015

.

"3. Mithilfe des Intervallmittelpunktes überprüfen ob Wendepunkt Extremstellen halbiert"

hm

\to

aber die Mitte zwischen

x_{1}

und

x_{2}

bekommst du allgemein mit

\frac{x_{1} + x_{2}}{2}

(also NICHT mit

\frac{x_{2} - x_{1}}{2})

probier es ..

und siehe !?

\to

hoffentlich klingelt das nun auch noch passend beim Edddi ..
.

Cenes aktiv_icon

12:31 Uhr, 21.12.2015

Vielen Dank an Edddi und rundblick! Jetzt klingelt es sogar doppelt bei mir!

Bummerang

14:23 Uhr, 21.12.2015

Hallo,

alternativer (formelfreier) Lösungsversuch:

Eine notwendige Bedingung für die Existenz von Extremstellen ist, dass es Nullstellen der ersten Ableitung sind.

Eine notwendige Bedingung für die Existenz von Wendestellen ist, dass es Nullstellen der zweiten Ableitung sind. Die letzte Bedingung bedeutet, dass die Wendestellen in der ersten Ableitung entweder Extremstellen sind oder zu einem Terassenpunkt gehören. Die erste Ableitung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades, die niemals einen Terassenpunkt hat, also sind hier die Wendestellen die Extremstellen der ersten Ableitung.

Will man die Lage der Extremstellen und der Wendestellen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ermitteln, genügt es, die Nullstellen und die Extremstellen der ersten Ableitung, also einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades, zu betrachten!

Der Extrempunkt einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades wird Scheitelpunkt genannt und üblicherweise mit

(x_{s}; y_{s})

bezeichnet. Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades ist immer achsensymmetrisch zur Achse

x = x_{s}

. Hat eine ganzrationale Funktion zweiten Grades auch Nullstellen, so liegen diese auf Grund der Achsensymmetrie beide immer gleich weit vom Argument des Scheitelpunktes entfernt, oder mit anderen Worten: Der Scheitelpunkt liegt, wenn es Nullstellen gibt, immer in der Mitte der beiden Nullstellen, er ist der Mittelwert der beiden Nullstellen.

Damit liegt die Wendestelle einer ganzrationalen Funktion dritten Grades auch immer in der Mitte zwischen den beiden Extremstellen, falls diese existieren.

Cenes aktiv_icon

14:27 Uhr, 21.12.2015

Vielen Dank Bummerang für deine Antwort. Hier in diesem Fall war eine rechnerische Begründung gefragt. (Habe ich in meiner Frage nicht angegeben). Aber trotzdem Danke!

Edddi aktiv_icon

16:01 Uhr, 21.12.2015

. .

. aus der Lösungsform der Extremstellen

x_{1, 2} = - \frac{b}{3 \cdot c} \pm \sqrt{D}

geht doch schon der Mittelpunkt hervor, wenn man den Wurzelkram ignoriert.

Man braucht also keine Mittelstelle mehr zu berechnen mit irgendeiner Formel.

;-)

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