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Cauchy-Integralformel über Dreieck

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: Analysis, Cauchy, Cauchysche Integralformel, Funktionentheorie, Integral, MATH, Mathematik

anonymous

18:54 Uhr, 01.06.2022

Hallo! Den Satz über die Cauchysche Integralformel habe wir folgendermaßen formuliert bekommen.

Sei

G \subset ℂ

ein Gebiet,

f : G \to ℂ

holomorph,

z_{0} \in G

und

r > 0,

so dass

D := D_{r} (z_{0}) \subset \subset G

(das heißt offene Kreisscheibe mit Radius

r

und Mittelpunkt

z_{0}

ist relativ kompakt in

G)

.

Dann gilt für alle

z \in D,

dass

f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{\partial D} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ

.

Okay also das habe ich verstanden und das ist ein super Werkzeug zur Bestimmung von komplexen Kurvenintegralen und ich habe das auch schon an einigen Beispielen benutzt. Jedoch gibt es im Buch ein Beispiel, von welchem ich auch die Lösung habe, welches ich nicht verstehe.

Sei

Δ

das Dreieck mit den Ecken

i, - i,3

. Berechnen sie das Integral

\int_{\partial Δ} \frac{e^{- z}}{z^{3} + 2 z^{2} - 3 z - 10} d z

.

Lösung:

Es ist

z^{3} + 2 z^{2} - 3 z - 10 = (z - 2) (z^{2} + 4 z + 5)

. Dabei hat das Polynom

z^{2} + 4 z + 5

die Nullstellen

z_{1 / 2} = - 2 \pm 2 i,

welche nicht im Inneren von

Δ

liegen.

Setzt man also

f (z) = \frac{e^{- z}}{z^{2} + 4 z + 5},

so ist

f

auf einer Umgebung von

Δ

holomorph und die Cauchy'sche Integralformel liefert:

\int_{\partial Δ} \frac{e^{- z}}{z^{3} + 2 z^{2} - 3 z - 10} = \int_{\partial Δ} \frac{f (z)}{z - 2} = 2 π i f (2) = \frac{2 π i}{17} e^{- 2}

.

Ich verstehe eigentlich so gut wie alles, nur eben nicht, warum man hier die Cauchy Integralformel anwenden kann. Es handelt sich hier um ein Integral über den Rand eines Dreiecks und nicht wie im Satz um ein Integral über den Rand einer Kreisscheibe. Ich verstehe, dass

f (z)

holomorph auf

ℂ \ {- 2 \pm 2 i}

ist und, dass

Δ \subset \subset ℂ \ {- 2 \pm 2 i},

also das Dreieck relativ kompakt in

ℂ \ {- 2 \pm 2 i}

ist, aber in der Integralformel ist ja gerade die Rede von einem Kreis und nicht von einem Dreieck.

Danke für die Hilfe und LG

Max

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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wandy aktiv_icon

10:37 Uhr, 13.06.2022

Die Cauchysche Integralformel gilt für ALLE geschlossenen Kurven um den Punkt z0. Im Beispiel wird ja z0=2 vom Rand des Dreiecks (-i, i, 3) umschlossen. Kreise innerhalb der geschlossenen Kurven haben meist beweistechnische Relevanzen.

siehe hierzu: www.youtube.com/watch?v=7vJ1_rkItHc

anonymous

17:04 Uhr, 13.06.2022

Danke, das war mir nicht klar!

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