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Doppelintegrale über Mengen berechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integral, mehrdimensionale Analysis

purpleice aktiv_icon

16:46 Uhr, 08.06.2021

Hallo, wie in der Aufgabenstellung beschrieben soll ich hier das Doppelintegral berechnen. Jetzt ist es das erste Mal für mich das die Integralgrenzen in einer Menge angegeben sind. Wie soll ich diese behandeln?

x^{2} + y^{2} \geq 1

kann ich ja schlecht als Ober- und Untergrenze einsetzen. Ich bin froh über jede Hilfe!
Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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17:13 Uhr, 08.06.2021

Ich habe jetzt damit begonnen Intervallgrenzen für

x

und

y

zu beschreiben, ich kann jedoch keine Untergrenze für das Intervall

x

finden.(siehe Foto)

michaL aktiv_icon

17:16 Uhr, 08.06.2021

Hallo,

das riecht für mich nach einer Anwendung des Satzes von Fubini.

Ich nehme an, du hast erkannt, dass der Integrationsbereich der obere Einheitshalbkreis um 0 ist?!
Hast du dort

x

einmal festgelegt, so ergibt sich

0 \leq y \leq \sqrt{1 - x^{2}}

.

Demnach gilt:

\int_{K_{1}} e^{- x} y d (x, y) = \int_{0}^{1} (\int_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}} e^{- x} y d y) d x

.

Den konstanten Faktor

e^{- x}

kannst du aus dem inneren Integral herausziehen, sodass du es mit machbaren integralen

\int_{0}^{1} (e^{- x} \int_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}} y d y) d x

zu tun bekommst.

Zuerst löst du das innere Integral, das den Wert

\frac{1}{2} (1 - x^{2})

haben sollte.
Das folgende Integral (müsste dann

\int_{0}^{1} \frac{1}{2} (1 - x^{2}) e^{- x} d x

sein) kann man mit zweifacher partieller Integration knacken.

Mfg Michael

PS: Ich habe gerade deinen Nachtrag gelesen.
Dass aus

x^{2} \leq 1 - y^{2}

per Wurzelziehen

x \leq 1 - y

werden soll, ist hoffentlich als Spaß gemeint.

purpleice aktiv_icon

18:04 Uhr, 08.06.2021

Bemerkt habe ich nicht das sich der Integrationsbereich im Einheitshalbkreis um 0 befindet. Woran erkenne ich es hier denn so deutlich?
LG

michaL aktiv_icon

19:42 Uhr, 08.06.2021

Hallo,

Was sagt dir denn

x^{2} + y^{2} = 1

(um mal einfach anzufangen)?

Mfg Michael

purpleice aktiv_icon

22:10 Uhr, 08.06.2021

Das die

x

und

y

Werte kleiner als 1 sein müssen?

michaL aktiv_icon

22:45 Uhr, 08.06.2021

Hallo,

das ist eine Kreis(rand)gleichung desjenigen Kreises, dessen Radius gleich 1 und Mittelpunkt der Ursprung ist.
Wenn man schon das nicht kennt, ist klar, dass alles weitere auch nicht leicht erkannt wird.
Das ist allerdings auch nicht nötig, um die Aufgabe zu lösen.

Mfg Michael

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