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Exponentielles Wachstum - Problem

Schüler Fachgymnasium,

Tags: Bevölkerungswachstum, Exponentialaufgaben, Exponentialfunktion, Exponentialgleichung, Exponentielles Wachstum

VannyNowhere aktiv_icon

18:31 Uhr, 09.12.2014

Die Aufgabe lautet: China und Indien hatten

1988

zusammen etwa

1,82 \cdot 10^{9}

Einwohner und

1989

etwa

1,875 \cdot 10^{9}

Einwohner.

a)

Modellieren Sie mithilfe dieser Daten das Bevölkerungswachstum durch exponentielles Wachstum.

b)

Welche Voraussage macht Ihr Modell für die Bevölkerungszahl im Jahr

2000

?
Tatsächlich betrug die Bevölkerungszahl im Jahre

2000

etwa

2,3 \cdot 10^{9}

c)

Wann wächst in Ihrem Modell die Bevölkerung auf 4 Milliarden?

Meine Ideen:

a)

Ich habe den Wachstumsfaktor a berechnet, indem ich

1,875 \cdot 10^{9}

durch

1,82 \cdot 10^{9}

geteilt habe und erhielt

1,03

.
In die Formel

f (x) = f (0) a^{x}

eingesetzt:

f (x) = 1,82 \cdot 10^{9} \cdot {1,03}^{x}

Ist die Funktionsgleichung soweit richtig?

b)

Ich würde nun für

^x 12

angeben, oder? Weil es von

1988

bis

2000

12

Jahre sind.

f (12) = 1,82 \cdot 10^{9} \cdot {1,03}^{12}

Ich weiß einfach nicht was ich für Zahlen nehmen muss...

c)

Ich weiß nicht wie ich die Funktionsgleichung aufstellen muss und was für Zahlen ich einsetzen muss...

Komme an den Stellen nicht weiter und bitte um dringende Hilfe, da es sich um eine Langzeitaufgabe handelt.

Danke im Vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

VannyNowhere aktiv_icon

19:37 Uhr, 09.12.2014

Bitte, ich brauche dringend Hilfe!

: (

Gwunderi aktiv_icon

19:46 Uhr, 09.12.2014

Du weisst nicht, welche Funktionsgleichung Du aufstellen musst und brauchst dringend Hilfe? Was für Hilfe denn, Deine Funktionsgleichung ist völlig korrekt : )

VannyNowhere aktiv_icon

19:51 Uhr, 09.12.2014

Echt? Wow, das hätte ich gar nicht gedacht. :-)
Und wie ist das mit der Aufgabe

b,

wenn ich die Funktionsgleichung für das Jahr

2000

aufstellen möchte? Ist das dann

f (x) = 1,82 \cdot 10^{9} \cdot {1,03}^{12}

Gwunderi aktiv_icon

19:55 Uhr, 09.12.2014

Jawohl, ganz genau die : )

VannyNowhere aktiv_icon

20:08 Uhr, 09.12.2014

Super, danke! :-)

Aber bei der

c

komme ich leider nicht weiter, wie sich das mit den 4 Milliarden verhält.
Kannst Du mir da vielleicht weiterhelfen?

Gwunderi aktiv_icon

20:12 Uhr, 09.12.2014

Bei b) war die Unbekannte die Bevölkerungszahl (im Jahre 2000).
Was ist jetzt bei c) die Unbekannte?

VannyNowhere aktiv_icon

20:15 Uhr, 09.12.2014

Die 4 Milliarden, ich weiß nicht wo ich die diesmal in die Gleichung setzen muss.

Gwunderi aktiv_icon

20:25 Uhr, 09.12.2014

Die 4 Milliarden sind bekannt, die Unbekannte sind diesmal die Anzahl Jahre bis eine Bevölkerung von 4 Mia. erreicht wird.

Bei b) waren es 12 Jahre, also lautete die Gleichung:

f (12) = 1, 82 \cdot 1 0^{9} \cdot 1, 0 3^{12}

Bei c) sind die Anzahl Jahre unbekannt, also:

f (x) = 1, 82 \cdot 1 0^{9} \cdot 1, 0 3^{x} = 4 \cdot 1 0^{9}

Ist Dir die Formel klar?

VannyNowhere aktiv_icon

20:30 Uhr, 09.12.2014

Stimmt, danke. :-)
Die Formel ist mir jetzt klar, aber wie rechne ich nun aus, nach wie vielen Jahren die Bevölkerung 4 Milliarden beträgt?

Gwunderi aktiv_icon

20:33 Uhr, 09.12.2014

Als erstes würde ich mit

1 0^{9}

kürzen und dann den Term mit x

(1, 0 3^{x})

auf eine Seite bringen.

Gwunderi aktiv_icon

21:42 Uhr, 09.12.2014

Rechne es mal vor:

1, 82 \cdot 1 0^{9} \cdot 1, 0 3^{x} = 4 \cdot 1 0^{9}

1, 82 \cdot 1, 0 3^{x} = 4

1, 0 3^{x} = 2, 2

Eigentlich sind es 2,1978 - hoffe 2,2 sind genau genug.

Nun kann man jede beliebige positive Zahl

a

als

e^{l n (a)}

schreiben.
z.B.

20 = e^{l n (20)}

Also:

e^{l n (1, 0 3^{x})} = e^{l n (2, 2)}

l n (1, 0 3^{x}) = l n (2, 2)

x \cdot l n (1, 03) = l n (2, 2)

x = \frac{l n (2, 2)}{l n (1, 03)} \approx 26, 67

Von 1988 an (Beginn der Zählung) sind es also rund 27 Jahre, also wird nächstes Jahr (2015) die 4 Milliarden-Marke erreicht sein.
Kannst zur Probe die 26,67 (oder 27) in x einsetzen, stimmt also.

VannyNowhere aktiv_icon

22:27 Uhr, 09.12.2014

Vielen, vielen lieben Dank. Ich habe das seehr gut verstanden! :-)

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