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Extremalprobleme und Rekonstruktion

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Tags: Extrema, Hochpunkt, Koordinatensytem, Rekonstruktion von Funktionen, Steigung, Tangent, Tiefpunkt

IND2015 aktiv_icon

17:10 Uhr, 10.02.2016

Guten Tag,

sitze sitze grad an einer Anwendungsaufgabe zum Thema Extremalprobleme und Rekonstruktionen von Funktionen. Bei der Anwendungsaufgabe habe etwa

\frac{1}{4}

schon geschaft, aber beim Rest bin ich mir nicht so sicher bzw. komme ich nicht weiter.

Die Aufgabenstellung:

Aus drei Blechteilen soll eine Rutschbahn für das Schwimmbad entsprechend der
Abbildung zusammengesetzt werden.
Für das gebogene Stück, das ohne Knick an die geraden Teile anschließt, soll ein Konstruktionsplan erstellt werden. Dazu muss eine Funktionsgleich erstellt werden.
Bestimmen Sie die Gleichung einer Polynomfunktion dritten Grades, deren Graph passend geformt ist.

Hier seht hier das alles nochmal als PDF-Format+Abbildung.

scharff.files.wordpress.com/2009/02/ruschbahnproblem.pdf

Nun zu meiner Idee:

Am Anfang natürlich die Ableitung bilden :

f (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

f´(x)=

3 a \cdot x^{2} + 2 b \cdot x + c

f´´(x)=

6 a \cdot x + 2 b

Von der Abbildung her erkenne ich einen Tiefpunkt

(- \frac{3}{2})

. Und natürlich den Punkt

(\frac{0}{0})

. Außerdem erkenne ich eine Tangente, die schwarz gekennzeichnet ist auf dem Bild. Da die Steigung der Tangente

m = 2

ist, kann ich die erste Ableitung gleich 2 setzen.

f´=2

2 = 3 \cdot a \cdot 0^{2} + 2 \cdot v \cdot 0 + c

c = 2

Punkt

(\frac{0}{0})

f (0) = a \cdot 0^{3} + b \cdot 0^{2} + c \cdot 0 + d

d = 0

Nun den TP

(- \frac{3}{2})

f (- 3) = a \cdot {(- 3)}^{3} + b \cdot {(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3) + 0

1 .) - 27 a + 9 b - 6 = 2

Weiter bin mir halt unsicher. Soll ioch

x = 3

noch in die 1.Ableitung einsetzen und was soll ich danach machen das LSG ( Substationsverfahren ).

Kann mir jemand weiterhelfen bzw. korrigieren.

Ich bedanke mich in Voraus.

Mit freundlichen Grüßen

IND2015

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

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18:20 Uhr, 10.02.2016

Die Aufgabenstellung gibt dir alles an die Hand was du brauchst. Du hast fast richtig erkannt was du sehen solltest jedoch nur fast. Die Steigung im Punkt

(0 / 0)

ist 2 und dein Tiefpunkt

(- 3 / - 2)

muss kein Tiefpunkt sondern ein Terassenpunkt oder wenigstens ein Wendepunkt sein damit die Steigung dort 0 ist. So setze diese Erkenntnisse ein und poste was du hast ;-)

IND2015 aktiv_icon

18:23 Uhr, 10.02.2016

Erstmal vielen Dank für Ihre schnelle Antwort.
Wenn Ich sie richtig verstehe, ist der Punkt(−3/−2) ein Wendepunkt?

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18:26 Uhr, 10.02.2016

Genau, und wenn du jetzt kombinierst das es "nur" ein Wendepunkt sein braucht erkennst du auch, das du mehrere Lösungen finden kannst darum steht auch in der Aufgabenstellung einer Gleichung und nicht der Gleichung ;-)

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18:32 Uhr, 10.02.2016

Also, muss ich den X-Wert des Punktes in dei 2.Ableitung einsetzen.
Denn die Bedingung von einem Wendepunkt ist:

f´(x)= 0

Also :

0 = 3 \cdot a \cdot {(- 3)}^{2} + 2 \cdot b \cdot (- 3) + c

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18:35 Uhr, 10.02.2016

Ist das so? Was ist mit dem notwendigen Kriterium f´´ und dem hinreichenden Kriterium? Was ich damit ausdrücken will, ist dass du auch einen Terassenpunkt mit f´´ bestimmst wenn dieser 0 ist. Das hinreichende Kriterium ist dass das Vorzeichen wechselt, bzw. die dritte Ableitung nicht 0 ist.

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18:39 Uhr, 10.02.2016

Entschuldigung meine ich auch.

Also :

f´´(x)=0

0 = 6 \cdot a \cdot (- 3) + 2 \cdot b

0 = - 18 a + 2 b

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18:44 Uhr, 10.02.2016

gut damit hast du den ersten Teil. Weiter so. jetzt holen wir uns die Zweite und die dritte Formel für die drei Unbekannten durch die Steigung in den beiden bekannten Punkten.

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18:46 Uhr, 10.02.2016

Meinen Sie das, was ich oben schon gemacht habe ?

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18:51 Uhr, 10.02.2016

Ja nur ist deine Berechnung für den Punkt

(- 3 / - 2)

nicht die letzte Formel. Du brauchst noch eine 4. Formel für die 4. Unbekannte.

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18:54 Uhr, 10.02.2016

Du kannst

z . B

. die Steigung in dem Punkt als 4. Formel benutzen. Und du hast einen Fehler in der Berechnung denn das Ergebnis für den Punkt

(- 3 / - 2)

muss natürlich

- 2

und nicht 2 lauten.

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18:59 Uhr, 10.02.2016

Erstmal vielen vielen Dank.
Aber ich komme grad nicht so mit bzw. verstehe es gerade nicht so.
Können Sie mir mal kurz einen Rechenschritt machen, bitte, damit ich weiß was konkret meinen und eine Übersicht zu gewinnen.

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19:05 Uhr, 10.02.2016

Du hast folgende Gleichungen:

I.)

0 = - 18 a + 2 b

II.)

- 2 = - 27 a + 9 b + 6 c + d

III.)

0 = 0 a + 0 b + 0 c + d

IV.)

c = 2

V .)

den Punkt

(- 3 / - 2)

in die erste Ableitung einsetzen aber ich sehe selbst grade brauchst du gar nicht mehr

so nun löst du das Gleichungssystem noch auf um a und

b

zu bestimmen.

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19:07 Uhr, 10.02.2016

Ich würde das gerne mir den Substrationsverfahren rechnen.
Geben Sie mir bitte nur 5-10min.

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19:07 Uhr, 10.02.2016

Aus Gleichung 3 siehst du das

d = 0

sein muss.

somit hast du

d = 0

und

c = 2

einsetzen in Gleichung II.)

- 2 = - 27 a + 9 b - 6 \cdot 2 + 0

nach a Umstellen und in I.) einsetzen.

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19:08 Uhr, 10.02.2016

Hab in II. einen kleinen Fehler mit der - bei

c

bitte Beachten

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19:26 Uhr, 10.02.2016

Sie haben bei der ersten Gleichungen einen Fehler gemacht, denn

b

ist gleich 0.

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19:31 Uhr, 10.02.2016

Sie meinten ja, dass ich die 2.Gleichung nach a umstellen soll, aber wie kann es gehen wenn ich doch 2 unbekannte Variablen bzw. zwei unbekannte Komponenten habe

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19:32 Uhr, 10.02.2016

Ja ich hab einen Fehler, aber der ist nicht bei

b,

sondern das ich übersehen habe, dass

c

schon eingesetzt war.

Formel II.) ist somit natürlich

- 2 = - 27 a + 9 b - 3 c + d

Wie kommst du darauf das

b = 0

ist

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19:34 Uhr, 10.02.2016

Entschuligen Sie mich, mein Fehler.
Aber wie kann ich das nach a auflösen, wenn ich ja nicht weiß.
Wie geht sowas mit zwei unbekannten Komponenten.

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19:50 Uhr, 10.02.2016

richtig es bleiben zwei Unbekannte und zwei Formeln. Das passt.

stelle Formel eins nach a oder

b

um.

b = 9 a

Das setze in Formel II.) für

b

ein und löse nach a auf.

IND2015 aktiv_icon

20:05 Uhr, 10.02.2016

Wie können Sie den die erste Gleichung umstellen.
Da sind ja

: - 18 a + 2 b = 0

- 18

muss mann teilen und 2 ebenfalls.

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