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Extremwert mit Integral kombiniert ?!

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,

Tags: Extremwertaufgabe, Integral

anonymous

10:51 Uhr, 10.11.2012

kann mir jeman bei diesem Beispiel helfen ? ich habe am Montag eine Mathearbeit und in der Schule haben wir noch kein Beispiel dieser Art gemacht

. .

.
Hab auch schon LösungsANSÄTZE ;-)

Die vom Graphen der Funktion

f (x) = \frac{a}{{(a + 2)}^{2}} \cdot x (2 - x)

(mita>0) und der 1.Achse begrenzte Fläche rotiert um die 1.Achse.
Für welchen Wert von a ist das Volumen des entstehenden Drehkörpers am größten?

. .

.
also ich denke mal hier ist Integralrechnung mit Extremwertaufgabe verbunden also brauche ich eine Hauptbedingung

(max .)

und eine Nebenbedingung
ich hab mir die Nullstellen ausgerechnet

(\frac{2}{0}

und

(\frac{0}{0})

das ist die Begrenzung fürs Integral vom Volumen

ich denke dass ich mir das Volumen (mit der Formel dafür die ich kenne) ausrechnen muss und das dann die Hauptbedingung ist
1. das geht irgendwie nicht, weil da eine ewig lange Formel rauskommt (bei mir zumindest) und 2. was ist dann die Nebenbedingung ?

wär echt nett wenn mir jemand helfen könnte/es mir vorrechnen würde/tipps geben würde

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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prodomo aktiv_icon

11:09 Uhr, 10.11.2012

Deine "ewig lange Formel" kannst du dir mit einer raffinierten Überlegung sparen. Die Grenzen sind 0 und 2. Es gilt

V_{x} = π \cdot \int_{0}^{2} y^{2} \cdot d x = \frac{a^{2}}{{(a + 2)}^{4}} \cdot π \cdot \int_{0}^{2} {(2 \cdot x - x^{2})}^{2} \cdot d x

. Egal, was das Integral liefert, es ist eine feste Zahl. Entscheidend ist also nur, wo der Bruch

\frac{a^{2}}{{(a + 2)}^{4}}

seinen größten Wert erreicht. Suche also dessen Hochpunkt (Kontrolle:

a = 2)

. Wenn du nallerdings den Wert des Volumens brauchst, musst du das Integral doch lösen (Kontrolle:

\frac{16}{15} \cdot π \cdot \frac{2^{2}}{{(2 + 2)}^{4}} = \frac{π}{60}

anonymous

11:32 Uhr, 10.11.2012

erst mal viiiiielen dank für die antwort

wenn ich jetzt den hochpunkt berechnen will muss ich das ja mit der 2.ableitung machen also

f (x)'

F(x)‘

= 2 \frac{a}{4 a^{3} + 32 a + 24 a^{2} + 16 a + 32}

= = 2 \frac{a}{4 a^{3} + 48 a + 24 a^{2} + + 32}

aber wie komme ich da jetzt auf a ?

anonymous

12:05 Uhr, 10.11.2012

also ich hab nun die Hauptbedingung :

V = \frac{a^{2}}{{(a + 2)}^{4}} \cdot

\cdot \frac{16}{15}

aber was für eine Nebenbedingung muss ich einsetzten dass ich

a (= 2)

rausbekomme ?

prodomo aktiv_icon

14:37 Uhr, 10.11.2012

Du scheinst beim Ableiten noch erhebliche Lücken zu haben. Für Brüche gilt die Quotientenregel und da der Nenner eine Funktion der Form

g [h (x)]

ist, die Kettenregel
Also

(\frac{u}{v})' = \frac{u' \cdot v + v' \cdot u}{v^{2}}

u = a^{2}

ergibt

u' = 2 \cdot a

v = {(a + 2)}^{4}

ergibt

v' = 4 \cdot {(a + 2)}^{3} \cdot 1 (

innere Ableitung von

a + 2)

Das ergibt

\frac{2 \cdot a \cdot {(a + 2)}^{4} - 4 \cdot {(a + 2)}^{3} \cdot a^{2}}{{(a + 2)}^{8}}

. Da

a > 0

sein soll, ist

a + 2

sicher nicht 0. Daher kann man durch

{(a + 2)}^{3}

kürzen und erhält

\frac{2 \cdot a \cdot (a + 2) - 4 \cdot a^{2}}{{(a + 2)}^{5}}

. Dieser Bruch ist

0,

wenn der Zähler 0 ist, also

2 \cdot a^{2} + 4 \cdot a - 4 \cdot a^{2} = 0

. Das ergibt 0 und 2 für

a, 0

ist aber nicht erlaubt, also bleibt 2. Wenn das gefordert ist, kannst du mit der gekürzten Form noch die zweite Ableitung machen.

anonymous

20:31 Uhr, 10.11.2012

oh mann stimmt danke ;-)
also ich verstehe nun zwar die einzelnen rechenschritte aber eins versteh ich immer noch nicht ganz: warum muss ich mir um auf das maximale Volumen zu kommen den HOCHPUNKT ausrechnen ? wie kommt man auf soetwas ?

pleindespoir aktiv_icon

20:42 Uhr, 10.11.2012

Das deutsche Wort für Hochpunkt ist Maximum ...

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