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Fläche unter einer Parabel mit Integralrechnung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Flächeninhalt, Integralfunktion, Mathematik, Variabeln

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11:50 Uhr, 07.01.2014

Hallo Leute,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe und nach Stunden des Nachdenkens bin ich zu dem Entschluss gekommen, Hilfe einzuholen. Und zwar muss die Funktionsgleichung einer Parabel bestimmt werden. Es ist jedoch nur die Fläche unter der Parabel angegeben

(A = 36)

und der Scheitenpunkt der Parabel

(\frac{u}{2} | 9)

. Ich weiß das ich da mit dem Hauptsatz der Integralfunktion rangehen muss und dass ich das ganze in die Scheitelpunktform umformen sollte. Ich komme ab diesem Schritt jedoch nicht weiter.

Die Parabel ist nach unten geöffnet siehe Bild:

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Integralfunktion
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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12:14 Uhr, 07.01.2014

Dein Bild suggeriert, dass die Parabel die Nullstellen 0 und

u

haben soll.
Zumindest eine dieser Nullstellen muss gegeben sein, damit auch eine eindeutige Parabel entsteht.

Wie sieht denn die Scheitelpunktsform Deiner Parabel jetzt aus?

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12:19 Uhr, 07.01.2014

Die Nullstellen des Graphen sind einmal

x = 0

und

x = u

(somit auch die Grenzen des Integrals)

Die Scheitelpunktform die ich bisher habe ist:

- a {(x - \frac{u}{2})}^{2} + 9

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12:22 Uhr, 07.01.2014

Du musst also jetzt a und

u

bestimmen, wozu Du zwei Gleichungen brauchst.
Eine Information steckt in der Nullstelle 0 (oder auch gleichbedeutend Nullstelle

u),

die andere in der Fläche von

36

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12:27 Uhr, 07.01.2014

OK

ich gehe jetzt davon aus das:

f (0) = 0

- a {(0 - \frac{u}{2})}^{2} + 9 = 0

und

A = 36

\int (- a {(x - \frac{u}{2})}^{2} + 9) d x = 36

Hab ich dich so richtig verstanden? Das sich das ganze um ein gleichungssystem handelt?

Danke schonmal :-D)

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12:33 Uhr, 07.01.2014

Ja, an dem Integral fehlen noch die Grenzen, aber sonst vollkommen richtig.

(Prinzipiell muss man bei Angaben wie

A = 36

aufpassen, da für das Integral dann genauso gut

- 36

rauskommen könnte. Hier ist aber klar, dass die Fläche oberhalb der x-Achse liegt. So stimmt also alles.)

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13:02 Uhr, 07.01.2014

So ich habe jetzt ein wenig weiter gerechne und komme auf folgendes Ergebnis für a

a = \frac{32}{u^{2}}

Rechnung:

- a {(0 - \frac{u}{2})}^{2} + 9 = 0

- a (\frac{u^{2}}{4}) + 9 = 0 | - 9

- a \frac{u^{2}}{4} = - 9 | : \frac{u^{2}}{4}

- a = - \frac{36}{u^{2}}

a = \frac{36}{u^{2}}

Nun gut. Danach habe ich mich an das Integral drangesetzt und da bin ich irgendwie stecken geblieben.

\int (- a {(x - \frac{u}{2})}^{2} + 9) d x

Das Integral ist in den Grenzen von 0 bis

u (u

ist obere grenze).
Stammfunktion

= [\frac{1}{12} x \cdot (a \cdot (- 3 u^{2} + 6 u \cdot x - 4 x^{2}) + 108)] \frac{u}{0}

Nach dem Hauptsatz komme ich auf:

\frac{u}{12} \cdot (- a \cdot u^{2} + 108) = 36

Ein bieschen vereichnfachen:

\frac{108 u - a \cdot u^{3}}{12} = 36

Zuletzt habe die Gleichung:

- a \cdot u^{3} + 108 u - 432 = 0

Ich habe an dieser Stelle das a von vorhin eingesetzt als Parameter und komme auf 6 das geht aber nicht auf. Ne Idee?

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13:22 Uhr, 07.01.2014

Mein Gott, wie hast Du denn diese Stammfunktion bestimmt?
Sie scheint aber zu stimmen.

Am Ende erhältst Du also

u = 6

. Was sollte denn da nicht passen?

MatheElKaler aktiv_icon

13:34 Uhr, 07.01.2014

Bin bei der Berechnung der Stammfunktion etwas kreativ geworden geb ich zu ;-) . 6 Scheint zu stimmen, hatte grad wohl nen Denkfehler.

Vielen Dank für die Hilfe! Hast mir den Tag geretten :-)

LG

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