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Flächeninhalt n-Eck über Umfang

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Flächeninhalt, Folge von n-Ecken, Kreis, Seitenlänge und, Umfang

 
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Axxel

Axxel aktiv_icon

19:09 Uhr, 18.06.2012

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Hallo ihr Lieben,

ich habe sehr große Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe:



Es geht um einen Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r, in den regelmäßige Vielecke Kn für n=0,1,2, …
einbeschrieben werden. Dabei entsteht Kn+1 aus Kn durch Verdoppeln der Eckenzahl. Das
Vieleck K0 ist ein Sechseck.
Die Anzahl der Seiten in Kn sei mit an, die Länge der Seiten mit xn bezeichnet, und der
Abstand des Kreismittelpunktes M von den Seiten sei mit hn bezeichnet.
(i) Skizze für r=8 cm, n=0,1 und 2 in einer Figur.
(ii) Bestimmen Sie Rekursionsformeln für die Folgen (an), (xn) und (hn).
(iii) Geben Sie eine Gleichung zwischen dem Flächeninhalt Fn+1 von Kn+1 und dem
Umfang Un von Kn an. Nehmen wir an, dass die Folge (Un) gegen 2·p·r (p ist π)
konvergiert. Was sagt dann die Gleichung für die Folge (Fn)?
(iv). Berechnen Sie den Umfang von Kn (r=5 cm) für n=0,1,2,3,4,5.
(v) Berechnen Sie den Umfang von Kn (r=5 cm) für n=100.⋅ Diskutieren Sie das
Ergebnis.



Könnt ihr mir bitte helfen ? Vor allem bei Aufgabe iii -v?
Es ist sehr wichtig!
Ich bräuchte den ganzen Lösungsweg...

Vielen vielen vielen Dank



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
Edddi

Edddi aktiv_icon

07:34 Uhr, 19.06.2012

Antworten
...durch die jeweilige Verdopplung erhälst du für die Seitenanzahl ( = Eckanzahl):

an=6⋅2n

rekursiv: an+1=2⋅an

d.h.,a0=6,a1=2⋅6=12,a2=4⋅6=24,...,an=2n⋅6

Für xn ergibt sich:

xn=2⋅r⋅sin(π6⋅2n)=2⋅r⋅sin(πan)

daraus für den nächsten Schritt: ⇒an=πarcsin(xn2⋅r)

und somit rekursiv mit obiger rekursiven Darstellung von an:

xn+1=2⋅r⋅sin(πan+1)=2⋅r⋅sin(π2⋅an)=2⋅r⋅sin(π2⋅πarcsin(xn2⋅r))

xn+1=2⋅r⋅sin(12⋅arcsin(xn2⋅r))

Analog kannst du mit hn vorgehen, hier gilt expliziet:

hn=r⋅cos(πan)⇒an=πarccos(hnr)

Rekursiv für hn also:

hn+1=r⋅cos(πan+1)=r⋅cos(π2⋅an)=r⋅cos(π2⋅an)=r⋅cos(π2⋅πarccos(hnr))

hn+1=r⋅cos(12⋅arccos(hnr))

Über xn und an kannst du dann einfach den Umfang bestimmen:

Un=an⋅xn

Die Fläche über:

An=12⋅an⋅xn⋅hn=12⋅Un⋅hn

...so, das reicht erstmal, den rest solltest du nun allein hinbekommen...

;-)
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