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Funktion 3. Grades erstellen

Schüler Berufsschulen, 11. Klassenstufe

Tags: Erstellen einer Funktion, Funktion 3. Grades, Gleichung 3. Grades, Kurvendiskussion

UncleBens aktiv_icon

18:29 Uhr, 02.01.2012

Hallo Leute,
Ich soll eine Funktion 3. Grades erstellen. Gegeben ist folgende Information:
Die Temperatur an der Oberfläche eines Biotops wird im Verlauf eines Tages gemessen. Um 0 Uhr beträgt die Temperatur an der Oberfläche

19

Grad Celsius. Die niedrigste Tagestemperatur wird um 6 Uhr mit

17,8

Grad Celsius gemessen, die höchste um

17

uhr.

Ich bräuchte nur den Ansatz sprich die Gleichungen die ich daraus aufstellen kann. Da komm ich nämlich nicht weiter. Bei meinen Gleichungen weiß ich nicht wie ich damit weitermachen soll bzw. mit Hilfe von Determinanten auflösen soll.

Ich bedanke mich schonmal im voraus!

Mit freundlichen Grüßen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

vinnyyy aktiv_icon

18:42 Uhr, 02.01.2012

schreib mal deine gleichungen auf

UncleBens aktiv_icon

18:57 Uhr, 02.01.2012

F (0) = 19

17,8°C=a*6^3+b*6^2+c*6+19

F´(6)=18^2*a+12*b+c

F (17) = a \cdot 17^{3} + b \cdot 17^{2} + c \cdot 17 + 19

bzw. kann ich die letzte ja noch ableiten

F´(17)=a*51^2+b*34+c

Aber wie bekomm ich daraus jetzt eine Funktion 3. Grades ?

d

ist ja bekannt, nämlich

19

. Mir fehlen also noch

a, b

und

c

Mit freundlichen Grüßen

vinnyyy aktiv_icon

19:01 Uhr, 02.01.2012

gut,

wie lauten die bedingungen für extrema?

vinnyyy aktiv_icon

19:10 Uhr, 02.01.2012

f' (x) = 0

das setzt du ein dann hast du genug gleichungen um die koeffizienten zu bestimmen

UncleBens aktiv_icon

20:00 Uhr, 02.01.2012

Tut mir leid aber ich verstehe nicht so ganz was du meinst.
Das die beiden 1. Ableitungen

= 0

sind ist mir klar. Aber was soll ich mit

f (x)

machen ?
f(x)=3ax^2+2bx+c

aber in diesem fall hab ich ja noch eine Variable mehr bekommen.
Also fehlt mir ja noch eine Gleichung bzw. f(x)=3ax^2+2bx+c bräuchte ich nicht, oder ?

MfG

vinnyyy aktiv_icon

22:57 Uhr, 02.01.2012

also, sorry ,dass ich mich unklar ausgedrückt hab.
du setzt die erste ableitung

= 0

also

0 = ... . .

.
dann hast du 2 gleichungen mehr und kannst dann mit

z . b

. gleichstellungsverfahren das gleichungssystem lösen

vinnyyy aktiv_icon

22:59 Uhr, 02.01.2012

d = 19

17,8 = a \cdot 6^{3} + b \cdot 6^{2} + c \cdot 6 + 19

0 = 18^{2} \cdot a + 12 \cdot b + c

0 = a \cdot 51^{2} + b \cdot 34 + c

prodomo aktiv_icon

09:20 Uhr, 03.01.2012

Die vorgeschlagene 3. und 4. Gleichung scheinen mir falsch

f (0) = 19

wahr

f (6) = 17,8

wahr
Aber

f' (6) = 0

ergibt

3 \cdot a \cdot 6^{2} + 2 \cdot b \cdot 6 + c = 0,

also

108 \cdot a + 12 \cdot b + c = 0

f' (17) = 0

entsprechend

867 \cdot a + 34 \cdot b + c = 0

. Hier wurde die Potenzrechnung
kastriert !

UncleBens aktiv_icon

22:38 Uhr, 03.01.2012

So hab die beiden Gleichungen korrigiert. xD
Ist mir ein dämlicher Fehler unterlaufen.

Dann hab ich die folgenden Gleichungen:

17,8 = 216 \cdot a + 36 \cdot b + 6 \cdot c + 19

und

F´(6)=108*a+12*b+c=0

sowie

F´(17)=867*a+289*b+c=0

Soweit richtig ?

Ich dachte aber immer die Gleichungen müssen alle der Grundform entsprechen bzw. aller der selben Ableitung.

Hab jetzt mal mit dem Taschenrechner probiert aber bin immernoch nicht aufs richtige Ergebnis gekommen.

Ich weiß nicht was ich falsch mache.

: (

Ich bedanke mich wieder im voraus ! ;-)

Mit freundlichen Grüßen

Eva88 aktiv_icon

22:58 Uhr, 03.01.2012

y=ax^3+bx^2+cx+d
y'=3ax^2+2bx+c

I

216 a + 36 b + 6 c + 19 = 17,8

eingesetzt 6
II

108 a + 12 b + c = 0

eingesetzt 6 bei

y'

III

4913 a + 289 b + c = 0

eingesetzt

17

bei

y'

nach

a, b

und

c

auflösen

(a = - \frac{277}{44430}; b = \frac{961}{8886}; c = - \frac{4624}{7405}; d = 19)

UncleBens aktiv_icon

17:36 Uhr, 04.01.2012

Kann es sein das du dich da vertan hast ?
Bei dem letzten wo du

17

eingesetzt hast. Dort schreibst du nämlich y´ obwohl du nicht die 1. Ableitung machst ,sondern nur

17

in die Grundfrom einsetzt.

Wofür brauch ich die Grundform denn ? So wie ihr die hingeschrieben habt erscheint es mir als solle ich diese dann auch als eine Gleichung verwenden, doch dann hab ich doch nur eine Variable

(x)

mehr !?

Hmm... naja das Ergebnis ,dass mein Lehrer mir gesagt hat ist aber anders. Er hat folgende Werte für

a, b

und

c

raus:

a = - \frac{1}{675}

b = \frac{23}{450}

c = - \frac{34}{75}

Über jegliche weiter Hilfe bin ich selbstverständlich sehr dankbar und möchte mich dafür auch schon im voraus bedanken ;-)

Mit freunlichen Grüßen

Shipwater aktiv_icon

11:03 Uhr, 05.01.2012

f (0) = 19

also

d = 19

f (6) = 17,8

also

216 a + 36 b + 6 c + d = 17,8

f' (6) = 0

also

108 a + 12 b + c = 0

f' (17) = 0

also

867 a + 34 b + c = 0

Ersetzt man

d = 19

in der zweiten Gleichung bleibt ein LGS mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten, das in Matrixform so aussieht:

(\begin{matrix} 216 & 36 & 6 & | - 1,2 \\ 108 & 12 & 1 & | 0 \\ 867 & 34 & 1 & | 0 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & | - \frac{1}{675} \\ 0 & 1 & 0 & | \frac{23}{450} \\ 0 & 0 & 1 & | - \frac{34}{75} \end{matrix})

Also ist

f (x) = - \frac{1}{675} x^{3} + \frac{23}{450} x^{2} - \frac{34}{75} x + 19

die gesuchte Funktionsgleichung.
Allerdings ist die Aufgabe meiner Meinung nach ungeschickt gestellt, da bei

x = 17

nur ein lokales Maximum ist. Es gilt nämlich

f (0) > f (17)

UncleBens aktiv_icon

17:23 Uhr, 05.01.2012

Hey, vielen Dank.
Hab jetzt alles soweit hinbekommen und verstehe was du meinst. :-)
Was aber ist denn eine Matrixform ? Sieht bei der ersten Klammer so aus wie beim Rechnen mit den Determinanten. Also wo die Koeffizienten "aufgelistet" sind.

Und noch etwas. Ist es also immer möglich die Gleichungen beim Lösungsweg über die Determinanten zu verwenden, ganz egal ob das eine die

1 ., 2

. Ableitung oder die normale Funktion ist ? Sprich die müssen jetzt nicht alle der 1. Ableitung entsprechen ;-)

Mit freundlichen Grüßen

Shipwater aktiv_icon

17:33 Uhr, 05.01.2012

Die Matrixform ist einfach nur eine Vereinfachung. Also man betrachtet nur die Koeffizienten und rechnet dann wie üblich. Natürlich kannst du die Gleichungen auch in ihrer ursprünglichen Form lassen. Das ist dir überlassen. Die zweite Frage verstehe ich nicht. In die Matrix gehören natürlich alle Gleichungen, egal welcher "Ableitung" sie entsprungen sind.

UncleBens aktiv_icon

17:40 Uhr, 05.01.2012

Ahso ok.
Ich meinte einfach nur es dürfen dann beim auflösen/verrechnen nur

z . B

. Gleichungen der 1. Ableitung verwendet werden oder ähnl.

Mit freundlichen Grüßen

Shipwater aktiv_icon

17:44 Uhr, 05.01.2012

Nein, es ist egal welcher Ableitung eine Gleichung entsprungen ist. Wichtig ist nur, dass jede Gleichung dir Informationen über die Koeffizienten gibt.

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