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Funktion aus 3 Punkten bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: Exponentialfunktion

Marco--O aktiv_icon

11:33 Uhr, 17.11.2018

Hi,

ich suche ein oder mehre Mathegenies die mir helfen können zwei Funktionen zu bestimmen. Ich habe versucht zunächst selbst mit Anleitungen im Internet die Ermittlung durchzuführen und bin gescheitert. Leider liegt mein Schulbesuch auch schon viele Jahre zurück und ich hoffe jemand zu finden, der noch im Stoff steht.
Natürlich mach ich dies nicht zum Spass, sondern brauch dies für eine eigene Berechnung/Planung.

Zum einen wäre die Funktion, die sich hinter folgenden Punkten verbirgt:

P 1 (750.000; 107)

P 2 (1.000.000; 123)

P 3 (3.000.000; 248)

und einen zusätzliche Probepunkt:

P 4 (3.500.000; 280)

und weiterhin benötige ich diese:

P 1 (72; 206)

P 2 (144; 248)

P 3 (216; 290)

und auch hier einen Probepunkt:

P 4 (360; 373)

Für eine entsprechende Berechnung/Auflösung bedanke ich mich schon jetzt und hoffe der ein oder andere hat auch Spass daran Laughing

Für alle unwissenden, den es ähnlich geht wie mir zeigt dies, dass man auch im Alltag auf mathematische Probleme stößt und es durchaus Sinn macht den Mathematikunterricht zu verfolgen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

11:43 Uhr, 17.11.2018

1)

Sieht nach einer linearen Funktion aus.
Grafik : Maßstab

1 : 10000

verwendet

Marco--O aktiv_icon

11:47 Uhr, 17.11.2018

Nein, es kann keine lineare Funktion sein. Die hätte ich glaube auch noch selbst lösen können. Bin kein totaler Matheversager :-) Hatte sogar Mathe LK, allerdings sehr lang her und inzwischen eigene Kinder durch die Grundschule gebracht und da sind die spannenden Themen leider einfach verblasst.

Die ersten Punkte erscheinen Linear, da die Werte sehr großer sind von

X

und

Y

im Verhältnis.

Respon

11:50 Uhr, 17.11.2018

Wenn ich diese vier Punkte durch GEOGEBRA berechnen lasse, erhalte ich eine lineare Funktion.
ad

2)

f (x) = 0,58 \cdot x + 164,46

( Originalmaßstab )
Bei einer quadratischen Funktion mit erhöhter Rechengenauigkeit liefert GEOGEBRA

f (x) = - 0,00002 \cdot x^{2} + 0,58946 \cdot x + 163,64545

.
Vergleiche mit einer linearen Funktion.

Marco--O aktiv_icon

11:54 Uhr, 17.11.2018

Okay zunächst hab ich gerade festgestellt, dass du die zweite Punktfolge berechnet hast und die erste übergangen wurde. Dann war ich leider falsch. Aber auch für die zweite Punktfolge stimmt die Gleichung nur näherungsweise. Ich hätte es jedoch gern exakt. Geht das irgendwie?

Respon

11:55 Uhr, 17.11.2018

Wenn wir von einer Polynomfunktion ausgehen - welchen Grad soll sie haben ?
Und du hast uns nur die Koordinaten geliefert ohne mathematischen Hintergrund.
Mathematisch betrachtet gibt es unendlich viele Funktionen, deren Graph durch 4 Punkte geht.
Mei Graph weiter oben bezieht sich auf das erste Beispiel.

Marco--O aktiv_icon

12:00 Uhr, 17.11.2018

Tut mir leid, ich hab keine Ahnung was du meinst.

Ich habe einfach deine Funktion genommen und nachgerechnet:

f(x)=0,58⋅x+164,46

P 1 (72; 206) : 0,58 \cdot 72 + 164,46 = 206,22 (0,22

Abweichung)

P 2 (144; 248) : 0,02

Abweichung

P 3 (216; 290) : 0,26

Abweichung

P 4 (360; 373) : 0,26

Abweichung

Okay zugegeben, die Abweichung ist so minimal, dass mir das für meine Zwecke in jedem Fall ausreicht. Danke dir sehr herzlich.

Respon

12:05 Uhr, 17.11.2018

1)

Mit der höchsten Rechengenauigkeit und den Originalwerten ( ohne Maßstab ) ergibt sich:

f (x) = 0,000062770889488 \cdot x + 60,03504043126684

( vorausgesetzt die Angaben sind nicht schon gerundet )

Marco--O aktiv_icon

12:27 Uhr, 17.11.2018

Ja du hast recht, Messfehler bzw. Genauigkeit (runden) kann die Abweichung verursachen. Daher bin ich immer von ausgegangen, es kann nicht linear sein. So gesehen umso besser.

könntest du mir das erste Punktepaar auch in eine Funktion stecken?

P 1 (750.000; 107)

P 2 (1.000.000; 123)

P 3 (3.000.000; 248)

und einen zusätzliche Probepunkt:

P 4 (3.500.000; 280)

Roman-22

13:25 Uhr, 17.11.2018

Auch hier sieht es nach einem linearen Zusammenhang aus.
Du solltest immer mit einem Plot beginnen und optisch beurteilen, was es sein könnte.
Bedenke, dass, egal wie viele Messpunkte du vorgibst, es immer unendlich viele Funktionen gibt, deren Graph genau durch alle vorgegebenen Punkte verläuft. Es gibts also immer unendlich viele interpolierende Funktionen.
Beispielsweise kann man durch deine vier Messpunkte ganz exakt den Graph einer Polynomfunktion dritten Grades legen:

f_{1} (x) = 4,6060606060606236 \cdot 10^{- 19} \cdot x^{3} - {2,8545454545454532}^{\cdot} 10^{- 12} \cdot x^{2} +

+ 6,7930303030303 \cdot 10^{- 5} \cdot x + 57,463636363636375

("ganz exakt" stimmt hier nur insofern, als man die hier gerundet angegebenen Koeffizienten bei Bedarf mit beliebiger Genauigkeit berechnen kann).

Aber sinnvoll erscheint das hier nicht. Vielmehr scheint eine lineare Regression die bessere Wahl zu sein. Regression bedeutet, dass die Kurve

u . U

. durch keinen einzigen deiner Messpunkte exakt durch läuft, in Summe aber die beste (lineare) Näherung liefert.

Also versuchs mal mit

f_{2} (x) = 6,2770889487870617 \cdot 10^{- 5} \cdot x + 60,03504043126685

P . S . :

Da du ja nur nach einer Funktion gefragt hast, die zu deinen Punkten passt und keine weiteren Einschränkungen hast verlauten lassen, darf ich dir in beigefügtem Screenshot noch zusätzlich eine hübsche allgemeine Sinus-Funktion anbieten, welche genau durch deine Punkte verläuft ;-)

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