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Funktionsschar und Integral

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Funktionsschar, Integral

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18:53 Uhr, 04.12.2011

Hallo liebe Mathefreunde! :-)

Ich hab ein kleines Problem mit folgender Aufgabe. Da die Aufgabe sich auf eine andere bezieht, denke ich, dass ich die erstmal präsentieren sollte:

Gegeben ist die Schar

f_{a} (x) = - x^{2} + a \cdot x

von quadratischen Funktionen mit dem reelen Parameter

a > 0

a)

Berechnen Sie den Inhalt der Flächenstücks, das jede Scharkurve mit der x-Achse einschließt.

Mein Rechenweg:

Erstmal die Nullstellen, um das Intervall zu ermitteln:

0 = - x^{2} + a \cdot x

0 = x (- x + a)

Somit also

x_{1} = 0

0 = - x + a | - a

- a = - x | : (- 1)

a = x

x_{2} = a

Nun das Integral berechnen:

\int_{0}^{a} (- x^{2} + a \cdot x) d x

= {[- \frac{1}{3} \cdot x^{3} + \frac{a}{2} \cdot x^{2}]}_{0}^{a}

= F (a) - F (0)

= - \frac{a^{3}}{3} + \frac{a^{3}}{2}

= \frac{a^{3}}{6}

Das Flächenstück beträgt also

\frac{a^{3}}{6}

FE.

Jetzt zum eigentlichen Problem:

b)

Zeichnen sie die Normalparabel und die Parabeln zu

a = 3

und

a = 4

in ein gemeinsames Koordinatensystem. Die Normalparabel teilt jedes der Flächenstücke aus Teilaufgabe

a)

in zwei Teilflächen. Berechnen Sie das Verhältnis der Inhalte dieser Flächenstücke für

a = 4

und für

a = 3

.

Ich verstehe nicht, was ich berechnen soll, bzw. welche Flächen gefragt sind. Könnt ihr mir kurz auf die Sprünge helfen?

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Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
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