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Gleichung eines Kreises durch 2 Punkte & Gerade

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 11. Klassenstufe

Tags: Gerade, Gleichungen, Kreis, Punkt

Corti aktiv_icon

17:34 Uhr, 20.06.2009

Also meine Aufgabe ist das hier:

Bestimme die Gleichung des Kreises, der durch A und

B

geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden

g

liegt.

A (7 | - 5), B (- 1 | 1); g : x - 4 y = 11

Was soll ich machen bzw. wie soll ich beginnen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
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Floh17 aktiv_icon

17:39 Uhr, 20.06.2009

Hallo!

Die allgemeine Gleichung eines Kreises lautet:

${(x - x_{m})}^{2} + {(y - y_{m})}^{2} = r^{2}$

Du weißt, dass der Mittelpunkt auf der Gerade liegen soll. Jetzt kannst du die Geradengleichung von mir aus nach y umstellen und dieses y als ym einsetzen. Das ist erst einmal ein Anfang. Probier es mal so weit. Wenn du Fragen hast, einfach fragen.

Viele Grüße!

anonymous

17:42 Uhr, 20.06.2009

Den Mittelpunkt erhält man ganz einfach, wenn man die Mittelsenkrechte zu A und B mit g schneidet.

Floh17 aktiv_icon

17:45 Uhr, 20.06.2009

Ja stimmt.

Der Weg ist sogar noch viel einfacher!

Viele Grüße!

Corti aktiv_icon

17:47 Uhr, 20.06.2009

Und wie mach ich das?

Floh17 aktiv_icon

18:03 Uhr, 20.06.2009

Also, zuerst bestimmst du die Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B. Dann fällst du das Lot genau auf der Hälfte dieser Strecke. Du gibst auch die Gleichung der Senkrechten (Lot) an. Diese setzt du dann gleich deiner Geradengleichung, wenn du diese nach y umgestellt hast. Den x-Wert , den du erhälst ist der x-Wert des Mittelpunktes. Setze nun den x-Wert in deine Geradengleichung ein und schon erhälst du den y-Wert. Jetzt fehlt nur noch der Radius. Das geht aber jetzt leicht.

Da du nun den Mittelpunkt kennst, kannst du z.B. Punkt A in deine Kresigleichung einsetzen. Du hast dann nur noch r als Variable, die du dann leicht ausrechnen kannst. Ich gebe dir mal die Lösung, dann kannst du kontrollieren, ob du auch darauf kommst:

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$

Viele Grüße!

anonymous

18:07 Uhr, 20.06.2009

Zuerst errechnat man sich den Mittelpunkt von A und B:

(\frac{7 + (- 1)}{2} ∣ \frac{- 5 + 1}{2}) = (3 ∣ - 2)

Dann braucht man noch die Steigung der Mittelsenkrechten:

Zuerst holt man sich die Steigung von AB:

\vec{A B} = (\binom{- 1 - 7}{1 - (- 5)}) = (\binom{- 8}{6})

m_{A B} = \frac{6}{- 8} = - \frac{3}{4}

Da die Mittelsenkrechte senkrecht zu AB steht, muss gelten:

m_{A B} \cdot m_{M i t t e l s e n k r e c h t e} = - 1

- \frac{3}{4} \cdot m_{M i t t e l s e n k r e c h t e} = - 1

m_{M i t t e l s e n k r e c h t e} = \frac{4}{3}

Jetzt bekommt man mit Hilfe der Punktsteigungsform (

y = m (x - x_{P}) + y_{P}

) die Geradengleichung der Mittelsenkrechten:

y = \frac{4}{3} (x - 3) + (- 2)

y = \frac{4}{3} x - 6

Jetzt noch Mittelsenkrechte und g schneiden:

y = \frac{4}{3} x - 6

\land

x - 4 y = 11

x - 4 (\frac{4}{3} x - 6) = 11

- \frac{13}{3} x = - 13

x = 3

y = \frac{4}{3} \cdot 3 - 6

y = - 2

--> M(3|-2)

Den Kreisradius bekommt man über den Betrag des Vektors

\vec{M A}

bzw.

\vec{M B}

\vec{M A} = (\binom{7 - 3}{- 5 - (- 2)}) = (\binom{4}{- 3})

∣ \vec{M A} ∣ = \sqrt{4^{2} + (- 3)^{2}} = 5

\vec{M B} = (\binom{- 1 - 3}{1 - (- 2)}) = (\binom{- 4}{3})

∣ \vec{M B} ∣ = \sqrt{(- 4)^{2} + 3^{2}} = 5

-->

r = 5

Jetzt kann man in die allgemeine Form einsetzen.

Corti aktiv_icon

18:15 Uhr, 20.06.2009

Vielen Dank euch für die gute Hilfe.

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