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Herleitung der Volumenformel Kugel Rotationskörper

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Herleitung, Kugel, Rotationskörper, Volumen

oims98 aktiv_icon

17:21 Uhr, 29.10.2009

Hallo ich bräuchte mal die Hilfe von einem "Profi",

wir haben gerade mit Rotationskörpern angefangen und sollen jetzt die Volumenformel einer Kugel berechnen, aber das klappt bei mir irgendwie nicht.

V

Kugel

= \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π

Un=

π \cdot {[\frac{4}{3} \cdot f (\frac{a}{n})]}^{3} + {[\frac{4}{3} \cdot f (2 \frac{a}{n})]}^{3} + . .

+ {[\frac{4}{3} \cdot \frac{f ((n - 1) \cdot a)}{n}]}^{3}

= π \cdot (\frac{64}{27} \cdot \frac{a^{2}}{n^{2}} + \frac{64}{27} \cdot 8 \frac{a^{2}}{n^{2}} + . .

+ \frac{64}{27} \cdot \frac{{({(n - 1)}^{2} \cdot a)}^{2}}{n^{2}})

= π \cdot \frac{64}{27} \cdot \frac{a^{2}}{n^{2}} \cdot (1 + 8 + 27 + ... + {(n - 1)}^{2})

Jetzt komm ich irgendwie nicht merh weiter. Ich brauche doch jetzt die Potenzsumme der Kubikzahlen, die lautet

\sum_{i = 1}^{n} 1^{3} = {(\frac{n \cdot (n + 1)}{2})}^{2}

Ausmultipliziert dann so:

= π \cdot \frac{16}{27} a^{3} \cdot \frac{n^{2} + 2 n + 1}{n}

Das kann aber nicht sein, weil dann hätte ich einen Grenzwert, der gegen unendlich läuft.

Wer kann mir bitte helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Raummessung
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CRS-55 aktiv_icon

22:13 Uhr, 29.10.2009

Hallo!

Zu diesem Thema fällt mir folgendes ein:

Du hast bestimmt schon einmal Bekanntschaft mit folgender Relation gemacht:

$x^{2} + y^{2} = 1$

Der Graph der Relation(Zeichnung: rot) liefert einen Ursprungskreis mit dem Radius r=1. Möchte man den Radius variieren, so muss man ihn in die Relation mit einbauen:

$x^{2} + y^{2} = r^{2}$

Diese Relation erzeugt nun einen Kreis mit M(0|0) und beliebigem r.

Möchte man nun durch Rotation um die x-Achse einen Rotationskörper erzeugen, der die Form einer Kugel hat, so muss man aus der Relation zunächst eine Funktion f(x) machen. Dies wird erreicht indem man nach y auflöst und dadurch den Teil des Graphen unterhalb der x-Achse eliminiert:

$f_{(x)} = \sqrt{r^{2} - x^{2}}$

Jetzt wird ein Halbkreis mit beliebigem r erzeugt(Zeichnung: blau). Würde man indes versuchen einen vollen Kreis um die x-Achse rotieren lassen, so würde der Halbkreis unter der x-Achse denjenigen überhalb der x-Achse genau aufheben (man hätte eigentlich zwei Kugeln) und das errechnete Volumen wäre 0. Dieser Effekt zeigt sich häufig bei Rotationen um die y-Achse ...

Anschließend kann man das Rotationsvolumen bestimmen. Hierzu gibt es eine Formel:

$V = π \int_{a}^{b} {(f_{(x)})}^{2} d x$

In unserem Fall also:

$\begin{array}{l} V = π \int_{- r}^{+ r} {(\sqrt{r^{2} - x^{2}})}^{2} d x \\ V = π \int_{- r}^{+ r} (r^{2} - x^{2}) d x \end{array}$

Stammfunktion bilden:

$V = π {[r^{2} x - \frac{1}{3} x^{3}]}_{- r}^{+ r}$

Ausrechnen:

$\begin{array}{l} V = π [r^{2} r - \frac{1}{3} r^{3} - r^{2} (- r) + \frac{1}{3} {(- r)}^{3}] \\ V = π [r^{3} - \frac{1}{3} r^{3} + r^{3} - \frac{1}{3} r^{3}] \\ V = \frac{4}{3} π r^{3} \end{array}$

Ich hoffe sehr, dass dir das weiterhilft, es ist das was mir sofort zu den Stichworten Rotationskörper und Kugel eingefallen ist.

Ansonsten gilt: Wenn Fragen, fragen! ^^

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