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Hermitescher Operator: Bedingung mit Integral?

Universität / Fachhochschule

Tags: hermitesch, Hermitescher operator, Integral, Operator, Quadratintegrabel

Sunny92 aktiv_icon

10:56 Uhr, 25.05.2014

Hallo,

ich habe dieses mal eine Verständnisfrage. Ich weiß, dass ein Operator hermitesch ist, wenn er mit dem Adjungierten übereinstimmt, also folgendes gilt:

x^{†} = x

. Der * bezeichnet das komplex konjugierte.

In meinem Buch steht folgendes:

Seien

φ (x), ψ (x) \in L^{2}

, so gilt für den adjungierten Operator x:

\int_{- \infty}^{+ \infty} d x φ^{*} (x) x ψ (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} d x (x^{†} φ (x))^{*} ψ (x)

Nun gilt aber:

\int_{- \infty}^{+ \infty} d x φ^{*} (x) x ψ (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} d x (x φ (x))^{*} ψ (x)

Es folgt:

x^{†} = x

Mir ist jetzt aber nicht klar, wie man auf die Integralausdrücke kommt.
Wenn ich ausrechne:

(x^{†} φ (x))^{*} = (x^{†})^{*} φ (x)^{*} = x φ (x)^{*} \neq φ (x)^{*} x

Wiese tauscht das komplex konjugieren auch die Reihenfolge der Multiplikation?

Grüße
Sunny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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DrBoogie aktiv_icon

12:16 Uhr, 25.05.2014

Warum ist plötzlich

x φ (x)^{*} \neq φ (x)^{*} x

?
Die Multiplikation von Funktionen ist doch kommutativ. :-)

Sunny92 aktiv_icon

12:29 Uhr, 25.05.2014

Ja, aber x ist doch ein Operator. Das ist ja nicht zwangsläufig kommutativ. Außerdem wird das gleich für den Ableitungsoperator d/dx auch gemacht und der ist ja nun wirklich nicht kommutativ.

DrBoogie aktiv_icon

12:37 Uhr, 25.05.2014

Multiplikationsoperatoren kommutieren miteinander. Vielleicht nicht zwangsläufig, aber doch. :-)
Was mit dem Ableitungsoperator sein soll, verstehe ich nicht.
Aber ich verstehe Deine Frage sowieso nicht wirklich.

Sunny92 aktiv_icon

12:40 Uhr, 25.05.2014

Im Prinzip geht es um die erste Bedingung für Adjungiertheit.

Die gilt wohl allgemein, jedoch verstehe ich nicht, wie man darauf kommt.
Kannst du mir das erklären?

DrBoogie aktiv_icon

12:41 Uhr, 25.05.2014

Könntest Du sie dann vielleicht auch allgemein aufschreiben?
Ich weiß nicht, was 1. Bedingung ist.

Sunny92 aktiv_icon

12:47 Uhr, 25.05.2014

Na das erste Integral:

\int d x φ \hat{A} ψ = \int d x ({\hat{A}}^{†} φ)^{*} ψ

DrBoogie aktiv_icon

12:53 Uhr, 25.05.2014

So allgemein wird

{\hat{A}}^{†}

einfach durch diese Formel definiert, daher gibt's da nichts zu beweisen.
Für konkrete Operatoren wie

x

oder

i \frac{\partial}{\partial x}

kann man dagegen mit der Formel beweisen, dass sie selbstadjungiert sind. Für

x

ist es trivial, weil

x

mit allem kommutiert. Für

i \frac{\partial}{\partial x}

nutzt man partielle Integration.

Update. Na ja, mit der Formel kann man natürlich nur zeigen, dass sie hermitesch sind, für die Selbstadjungiertheit braucht man mehr.

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