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Integral einer Funktionsschar berechenen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Funktionsschar, Integral

qwe11 aktiv_icon

19:57 Uhr, 18.10.2009

Gegeben ist folgende Funktionsschar:

f (x) = x^{3} - t x^{2}

Berechne die Größe der Fläche zwischen der x-Achse und der Kurve, wenn diese Fläche "über" der x-Achse liegt.
Für welches

t

ist diese Fläche 5FE groß?

Allerdings wenn ich zb den Graphen mit

t = 2

mir zeichnen lasse, dann verläuft ja die Kurve bis zur 2ten Nullstelle

(\frac{2}{0})

unter der x-Achse.
Es gilt ja für x->+unendlich: f(x)->+unendlich

Also lässt sich dort keine Fläche berechnen wie es in der Aufgabe gestellt wurde, oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

20:00 Uhr, 18.10.2009

Die Integrationsgrenzen sind die Nullstellen.

Du musst untersuchen, ob die Funktion zwischen den Grenzen positiv ist.

qwe11 aktiv_icon

20:16 Uhr, 18.10.2009

Und da der Funktionswert negativ ist, kann ich die Fläche nicht berechnen (Wir hatten nur die erste Variante der Integralrechnung).

Also muss ich hinschreiben keine Lösung oder soetwas in der Art?

pleindespoir aktiv_icon

20:32 Uhr, 18.10.2009

f (x) = x^{3} - t x^{2}

Wieso ist der funktionswert negativ? wie kommst du darauf?

also fangen wir mal an:

Nullstellen:

0 = x^{3} - t x^{2}

x vorklammern

0 = x (x^{2} - t x)

offensichtlich wäre da schon mal

x_{1} = 0

0 = x^{2} - t x

0 = x (x - t)

x_2=0
x_3=t

klar warum?

Jetzt Fallunterscheidung:

t=0
dabei liegen alle nullstellen auf 0 - das integrationsintervall wird Null.

t > 0

Unterfälle:

x < t

(x - t)

wird negativ - der Funktionswert also auch negativ

x \geq t

es gibt keine weitere Nullstelle positiver als t, also ist die Fläche nicht begrenzt.

t < 0

Unterfälle:

x > t

(x - t)

wird positiv - der Funktionswert also auch positiv. (

x^{2}

ist immer positiv)

x \leq t

es gibt keine weitere Nullstelle negativer als t, also ist die Fläche nicht begrenzt.

Für welche t ist jetzt für welche x die Funktion positiv?

qwe11 aktiv_icon

21:29 Uhr, 18.10.2009

Vielen Dank.

Ich hab gerade gelesen das

t > 0

sein muss.
Aber in diesem Fall ist ja der Funktionswert innerhalb der Begrenzung nur negativ.

pleindespoir aktiv_icon

22:08 Uhr, 18.10.2009

das ist ja schade - jetzt kann man ja wirklich das Integral nicht ausrechnen!

wieder so eine hundsgemeine Aufgabe, die 80% der Schüler mühevoll ausrechnen, um dann festzustellen, dass die Zeit für die anderen Aufgaben nicht mehr langt, weil man es in drei Zeilen hätte beantworten können.

Aber wenn Du Spass dran hast, kannst du ja doch mal probieren, für welches t die Fläche erreicht wird...

qwe11 aktiv_icon

17:33 Uhr, 19.10.2009

Blöd, aber vielen Dank für deine Hilfe!

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