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Integral über den Betrag einer Sinusfunktion

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Integration

Tags: Bereichsintegral, Flächenintegral, Funktionalanalysis, Integration, Sinusfunktion, Substitution

Bayro aktiv_icon

18:18 Uhr, 10.07.2017

Guten Abend Leute,

Ich bereite mich derzeit auf die Prüfung in Analysis vor und habe folgendes Problem. In einer Aufgabenserie von vor einen Monat hatte (und habe) ich keinen blassen Schimmer, warum mein Ergebnis nicht mit dem richtigen Ergebnis (Wolfram-Alpha) übereinstimmt. Ich kam nur darauf, wenn ich die Funktionaldeterminante weg ließ... Dem Kontrolleur ist es zum Glück (und jetzt zu meinem Pech) nicht aufgefallen. Nun stehe ich davor und frage mich wieder: "WARUM KOMM ICH NICHT AUF DAS ERGEBNIS?!"

Vielleicht könnt ihr mir ja helfen. Die Aufgabe lautet:

Berechne das Bereichsintegral

\int \int_{Q} f (x, y) d (x, y),

f (x, y) = | sin (x + y) |,

Q = {(x, y) : 0 \leq x \leq π, 0 \leq y \leq π}

Mein Ansatz war es neue Koordinaten zu wählen:

α = x + y,

β = \frac{x}{2}

Damit komme ich dann auf eine Funktionaldeterminante

F_{D} = 2

Das Integral wurde somit zu:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{2 π} | sin α | \cdot F_{D} \cdot d α \cdot d β = \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \cdot \int_{0}^{π} sin α \cdot 2 \cdot d α \cdot d β = 4 π

Wenn ich

F_{D}

weglasse, komme ich auf die richtigen

2 π . .

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Sinus- und Kosinusfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

mihisu aktiv_icon

20:13 Uhr, 10.07.2017

Das Integrationsgebiet ist zu Beginn

Q = {(x, y) \in ℝ^{2} | 0 \leq x \leq π, 0 \leq y \leq π} = [0, π] \times [0, π]

Durch die von die angegebene Transformation erhält man dann das neue Integrationsgebiet

Φ^{- 1} (Q) = {(α, β) \in ℝ^{2} | 0 \leq α - 2 β \leq π, 0 \leq 2 β \leq π}

Φ^{- 1} (Q) = {(α, β) \in ℝ^{2} | 2 β \leq α \leq π + 2 β, 0 \leq β \leq \frac{π}{2}}

.

Du hast fälschlicherweise angenommen, dass

Φ^{- 1} (Q) = {(α, β) \in ℝ^{2} | 0 \leq α \leq 2 π, 0 \leq β \leq \frac{π}{2}}

wäre.

Dementsprechend erhält man nach der Transformation:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{2 β}^{π + 2 β} | sin (α) | \cdot 2 d α d β

Bayro aktiv_icon

21:07 Uhr, 10.07.2017

DANKE!
Die beigefügten Bilder waren zusätzlich noch nett zum Verständnis.

Bayro aktiv_icon

22:02 Uhr, 10.07.2017

Achja, und falls jemand die Lösung dieser Aufgabe haben möchte:

Die Parametrisierung funktioniert nicht. Das Auflösen des Betrags wird dadurch nur schwerer. Man sollte einfach das Gebiet

Q = {(x, y) : t_{0} \leq x \leq t_{0} + T, t_{0} \leq y \leq t_{0} + T}

aufspalten in

Q_{1} = {(x, y) : t_{0} \leq x \leq t_{0} + T, t_{0} \leq y \leq t_{0} + T - x}

Q_{2} = {(x, y) : t_{0} \leq x \leq t_{0} + T, t_{0} + T - x \leq y \leq t_{0} + T}

Wobei für

t_{0}, T

gilt:

f (T) = f (t_{0}) = 0, f (t) \geq 0, t \in [t_{0}, t_{0} + T]; f (t) \leq 0, t \in [t_{0} + T, t_{0} + 2 T]

\int \int_{Q} | f (x + y) | d (x, y) = \int \int_{Q_{1}} f (x + y) d (x, y) + \int \int_{Q_{2}} - f (x + y) d (x, y)

= \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T - x} f (x + y) d y d x - \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} \int_{t_{0} + T - x}^{t_{0} + T} f (x + y) d y d x

= \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} {[F (x + y)]}_{t_{0}}^{t_{0} + T - x} d x - \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} {[F (x + y)]}_{t_{0} + T - x}^{t_{0} + T} d x

= \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} 2 \cdot F (t_{0} + T) - F (x + t_{0}) - F (x + t_{0} + T) d x

= 2 \cdot F (t_{0} + T) \cdot T - \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} F (x + t_{0}) + F (x + t_{0} + T) d x

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