Integral von cos^2(x)?????

Du suchst eine Funktion, in deren Ableitung   (cos(x))²   vorkommt.

Da ist   f(x) = sin(x) * cos(x)   geeignet.

f '(x) = (cos(x))² - (sin(x))²

Nun wissen wir, dass     (sin(x))² + (cos(x))² = 1    ist.

Daraus folgt   (sin(x))² = 1 - (cos(x))²

Einsetzen liefert

f '(x) = (cos(x))² - (1 - (cos(x))²)

f '(x) = 2 * (cos(x))² - 1

Nun haben wir

Integral( 2 * (cos(x))² - 1 ) = sin(x) * cos(x)

Integral( 2 * (cos(x))²)dx - Integral( 1 )dx = sin(x) * cos(x)

2 * Integral( (cos(x))²)dx - x = sin(x) * cos(x)

2 * Integral( (cos(x))²)dx = x + sin(x) * cos(x)

Integral( (cos(x))²)dx = 1/2 * (x + sin(x) * cos(x))     +   C

GRUSS, DK2ZA

Servus,

über die Summensätze kannst du folgende Formel herleiten:

${\displaystyle {\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{2}*(1+\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right)}$

Und das unbestimmte Integral davon zu bestimmen ist trivial:

${\displaystyle \int {\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\int \frac{1}{2}*(1+\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\int \frac{1}{2}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\int \frac{\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}{2}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}+\frac{\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}{4}+\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

mfg