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Integral x hoch 2 mal e hoch -x hoch 2

Schüler

Tags: bestimmt, Grenze, Integral, Integralrechnung, unbekannt, unbekanntes Intervall, Unbestimmtes Integral

MrToasty97 aktiv_icon

19:00 Uhr, 02.06.2014

Hallo Liebe onlinemathe-Community,

ich habe eine Frage zu einem Beispiel das mir mein Mathelehrer gegeben hat. Die Angabe lautet

\int x^{3} * e^{- x^{2}}

.
Ich habe schon ein paar schritte berechnet, aber irgendwie kommt mir vor diese Integration wird niemals aufhören, hier meine Rechenschritte, bitte um Hilfe bzw. Korrektur meiner Fehler.

1)

\int x^{3} * e^{- x^{2}} = \frac{x^{4}}{4} * e^{- x^{2}} - \int \frac{x^{4}}{4} * e^{- x^{2}} * (- 2 x)

so würde das ja nun ewig weitergehen weil

e^{- x^{2}}

niemals wegfallen würde bzw. der Exponent von x immer mehr wird, kann mir jemand sagen was ich falsch mache?

Mit freundlichen Grüßen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

11:10 Uhr, 15.03.2014

Setze allgemein an

\int x^{3} \cdot e^{- x^{2}} d x = (a \cdot x^{2} + b \cdot x + c) \cdot e^{- x^{2}}

Durch Differntiation der rechten Seite erhalte ich

e^{- x^{2}} \cdot (- 2 \cdot a \cdot x^{3} - 2 \cdot b \cdot x^{2} + x \cdot (2 \cdot a - 2 \cdot c) + b)

Koeffizientenvergleich bringt

a = - \frac{1}{2}

c = - \frac{1}{2}

\Rightarrow

\int x^{3} \cdot e^{- x^{2}} d x = (- \frac{1}{2} \cdot x^{2} - \frac{1}{2}) \cdot e^{- x^{2}} + C

MrToasty97 aktiv_icon

11:13 Uhr, 15.03.2014

Erstmal vielen Dank für die schnelle Lösung!
Das mit dem Koeffizientenvergleich haben wir allerdings nie gelernt, hast du zufällig auch eine Lösung für das Integral per Partieller Integration?

mit freundlichen Grüßen

Respon

11:24 Uhr, 15.03.2014

Ist dir die Substitutionsmethode bekannt?

anonymous

11:27 Uhr, 15.03.2014

a)

In der Überschrift steht "x hoch 2...", in der Aufgabe dann mehrfach

x^{3}

.
Dürfen wir davon ausgehen, dass

x^{3}

gemeint ist?

b)

MrToasty, du wendest die Produktintegration an.
Du integrierst den Faktor

x^{3}

und leitest den Faktor

e^{- x^{2}}

ab.
Die logische Konsequenz: die Potenz des ersten Faktors wird immer größer.
Wenn du diese Vorgehensweise wieder mal anwenden willst, dann empfiehlt sich, den ersten Faktor abzuleiten.
In diesem Fall müsstest du dann aber den zweiten Faktor

e^{- x^{2}}

integrieren. Und das ist ein altes Problem, das nicht nur auch ich nicht lösen kann...

c)

Mein Tip wäre:
Substitution:

x^{2} = u

MrToasty97 aktiv_icon

11:57 Uhr, 15.03.2014

Substitutionsmethode ist mir bekannt ja.

Respon

12:00 Uhr, 15.03.2014

Dann führe vorerst die Substitution durch.
Achtung : Im Verlauf der Substitution stößt du NOCHMALS auf ein

x^{2},

das du ebenfalls durch

u

ersetzen musst.

MrToasty97 aktiv_icon

14:29 Uhr, 15.03.2014

okay ich habs jetzt versucht, auch einige andere Beispiele die ähnlich sind, aber wenn da eine Multiplikation steht bin ich total aufgeschmissen, ich weiß zwar das ich die substitution verwenden muss, aber es kommt nicht das richtige heraus, auch nicht wann ich z.B. x*u per partieller integration integriere, da bin ich total am Ende. Könnte mir da jemand helfen?

Matheboss aktiv_icon

14:50 Uhr, 15.03.2014

Substitution nach Respon

z = x^{2} \Rightarrow \frac{d z}{d x} = 2 \cdot x \Rightarrow d x = \frac{d z}{2 \cdot x}

\int (x^{3} e^{- x^{2}}) d x = \int (x^{2} \cdot x \cdot e^{- x^{2}}) d x = \int (z \cdot x \cdot e^{- z}) \frac{d z}{2 \cdot x} = \frac{1}{2} \cdot \int (z \cdot e^{- z}) d z

Jetzt partiell

u = z \Rightarrow u' = 1

v' = e^{- z} \Rightarrow v = - e^{- z}

Edit

... = \frac{1}{2} \cdot \int (z \cdot e^{- z}) d z = \frac{1}{2} \cdot [z \cdot (- e^{- z}) - \int (1 \cdot (- e^{- z})) d z] = \frac{1}{2} \cdot [- z \cdot e^{- z} + \int e^{- z} d z] =

\frac{1}{2} [- z \cdot e^{- z} - e^{- z}] = \frac{1}{2} \cdot [- x^{2} \cdot e^{- x^{2}} - e^{- x^{2}}] = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 1) \cdot e^{- x^{2}}

Die Konstante

C

habe ich beim Rechnen bis jetzt weggelassen, ist aber notwendig!
Also

F (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 1) \cdot e^{- x^{2}} + C

MrToasty97 aktiv_icon

14:10 Uhr, 16.03.2014

Warum ergibt

u = z \Rightarrow u' = 1

? Bei

z = x^{2}

ist die Ableitung ja

2 x

Matheboss aktiv_icon

14:44 Uhr, 16.03.2014

Das ist der Substitutionsteil

Îch habe beim 1. Teil nach Respon substituiert. Siehe oben!
Leider habe ich nicht aufgepasst, dass sie

u = x^{2}

gesetzt hat. Ich habe

z = x^{2}

gesetzt, das dürfte aber kein Problem geben.
Nach der Substitution ergibt sich

f (z) = z \cdot e^{- z}

hier, siehe oben, wurde nun partiell integriert

2.Teil: Partielle Integration für

f (z)

f (z) = u (z) \cdot v' (z)

\int f (z) d z = u (z) \cdot v (z) - \int u' (z) \cdot v (z) \cdot d z

f (z) = z \cdot e^{- z}

damit ist

u (z) = z \Rightarrow u' (z) = 1

v' (z) = e^{- z} \Rightarrow v (z) = - e^{- z}

Rest siehe oben!

MrToasty97 aktiv_icon

15:07 Uhr, 16.03.2014

es tut mir leid aber ich komme bei deinen rechenschritten garnicht mit was du wie meinst. ich bin nun so weit:

u = x^{2}

\frac{d u}{d x} = 2 x

\frac{d u}{2 x} = d x

\int x^{3} * e^{- x^{2}} * d x = \int u * x * e^{- u} * \frac{d u}{2 x} = \frac{1}{2} \int u * e^{- u} =

= \frac{1}{2} * \int (u * (- e^{- u}) - \int u ʹ * (- e^{- u}) =

und da hört bei dir schon das Integral auf, aber bei mir geht es noch weiter, ich versteh einfach nicht wo was wie gemacht gehört..

Matheboss aktiv_icon

15:19 Uhr, 16.03.2014

Das hört doch bei mir nicht auf, der Rest steht nach "Edit".
Ich habe hier abgesetzt, um zu zeigen, dass ich jetzt partiell integriere.

Das sieht doch teilweise sehr gut aus.

Bis hierhin korrekt

... = \frac{1}{2} \cdot \int u \cdot e^{- u}

du=

= \frac{1}{2} \cdot [u \cdot (- e^{- u}) - \int (1 \cdot (- e^{- u})) \cdot

]

=...

Rest siehe oben!
Ich habe die Aufgabe bis zum bitteren Ende gerechnet.
Also wo habe ich aufgehört?
Du solltest vielleicht den Post einmal genau lesen!

MrToasty97 aktiv_icon

15:37 Uhr, 16.03.2014

Ich glaube ich habe meinen Fehler, kann es sein das wann ich nach der Substitution einen Ausruck wie in meinem Fall z.B.

f (u) = u \cdot e^{- u}

habe , dass die danach folgende Umformung für die Partielle Integration nichts mit dem Wert von

u

zu tun hat? Also das ich

u

ableite und nicht

x^{2}

Matheboss aktiv_icon

15:45 Uhr, 16.03.2014

Ja, ich denke, das ist das Problem.

Im partiellen Teil hast Du

\int f (u) \cdot

du

hat also im Augenblick nichts mit

x

zu tun.
Deshalb ist es auch immer wichtig "du" hier zu schreiben, dammit man weiß, nach welcher Variablen man integriert. Hast Du vergessen!

Ich verwende ich bei der Substitution immer

z = . .

. , weil in der Formelsammlung Du unter partieller Integration findest

Wenn

f (x) = u (x) \cdot v' (x)

wobei eben

u (x)

und

v' (x)

die Faktoren dieser Funktion sind.
dann

\int f (x) \cdot d x = u (x) \cdot v (x) - \int u' (x) \cdot v (x) \cdot d x

MrToasty97 aktiv_icon

16:42 Uhr, 17.03.2014

Dankeschön, ich habs jetzt verstanden!

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