Integralrechnung (Stammfunktion bilden)

$$\begin{gathered} {\displaystyle \begin{array}{c}\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\int }_0^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\frac{1}{8}{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4+\frac{17}{8}{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-2\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-\frac{1}{40}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^5+\frac{17}{24}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\text{falls x < 2}\\ \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\int }_0^2-\frac{1}{8}{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4+\frac{17}{8}{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-2\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\int }_2^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-4\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+8,5\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-\frac{1}{40}{2}^5+\frac{17}{24}{2}^3-2\cdot 2+\frac{1}{3}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+8,5\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-(\frac{1}{3}{2}^3-2\cdot 2^2+8,5\cdot 2)\end{array} \\ \begin{array}{cc}=\frac{13}{5}+\frac{1}{3}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+8,5\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\frac{35}{3}=+\frac{1}{3}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+8,5\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\frac{54}{5}\text{ falls x}\ge 2& \end{array}} \end{gathered}$$Den vernünftigen Übergang bekommst du durch das "Aneinanderkleben" der beiden Integrale im zweiten Schritt.

F ist stetig (F(2) = 13/15) und differenzierbar an der Stelle x=2 mit F '(2) = f(2) = 4,5.

Von dem Teil von f, der für x<2 definiert ist, ganz normal eine Stammfunktion (hast du ja auch gemacht, -1/8*(blabla), ruhig mit C=0) bestimmen.

In diese dann den "Übergangswert" x=2 einsetzen und das Ergebnis berechnen. Brauchst du unten gleich wieder.

Dann von dem zweiten Teil von f, der für x>=2 definiert ist, ebenfalls eine Stammfunktion bilden (hast du im Ausgangsposting ja auch angegeben). Die Konstante C muss aber noch so bestimmt werden, dass bei Einsetzen von x=2 in diese Stammfunktion der Wert rauskommt, den du zuvor beim anderen Teil oben berechnet hast. Das müsste dann offenbar C = -54/5 sein (s. Ergebnis von oben).

Du brauchst dich doch nicht zu entschuldigen.

Laut Aufgabenbeschreibung sollte der Übergang an der Stelle x=2 , an der beide Teilfunktionen quasi zusammenstoßen, "glatt" erfolgen.

Dann müssen die Werte der "Teilstammfunktionen" an der Stelle x=2 zusammenpassen, also gleich sein.

Das erreichst du eben durch das Gleichsetzen.

Ich habe nochmal genau nachgelesen, die Aufgabenstellung heißt "Geben Sie die Stammfunktionen F der Funktion f an." Ich habe nun das Ergebnis raus: 

F(x)= -1/8 (1/5x^5-17/3x^3+16x) x<2 

         1/3x^3-2x^2+17/2x - 54/5  x>=2

Da eben nur da steht, "Geben Sie an", muss ich nicht angeben wie ich auf das Ergebnis gekommen bin. Es wäre nur wichtig zu wissen, ob es auch stimmt?! 

Ich habe mir diesen Graph auch im Taschenrechner so anzeigen lassen, und er ist an der Stelle x=2 durchgängig gezeichnet wurden. Heißt das, dass die Funtion somit auch Steitg ist? 

Unsere Lehrerin sagte immer,die Funktion ist Stetig wenn man sie zeichnen kann ohne den Stift abzusetzen. Oder müsste ich das jetzt nochmal genau mit dem limes nachweisen?

Und was genau muss ich da jetzt machen, um auf dieses Ergebnis zu kommen? 

Also ich muss bei beiden Stammfunktionen das selbe "C" hinzuaddieren?! Somit ist mein Ergebnis falsch, da ich nur bei der 2. Stammfunktion -54/5 hinzugerechnet habe.

Wäre schön wenn ihr mir noch schreiben könntet, was ich jetzt rechnen muss. Danke

Beim zweiten Teil gehört -54/5 und sonst nix.

Wenn Du allerdings beim ersten Teil noch ein +C anhängst, um wirklich alle Stammfunktionen zanzugeben, dann hängst du das auch beim zweiten dran, so dass dort im Prinzip am Ende -54/5 +C stünde. Dieses C wäre dann "das gleiche" wie im ersten Teil.

Lass es aber einfach weg, amn kann Dinge auch unnötig verkomplizieren. Deiner Lehrerin geht es bei der Aufgabe darum, dass du das "Anhängsel" -54/5 bestimmst.

Die Stetigkeit hast du im Prinzip schon damit "nachgewiesen", dass du x=2 in beide Teile der Stammfunktion einsetzt und dabei feststellst, dass jeweils der gleiche Wert herauskommt.

Zeichnerisch hast du das mit deinem GTR ja auch durchaus vernünftig und anschaulich überprüft.

Ich habe gerade in beide Stammfunktionen den Wert 2 eingesetzt. Bei der ersten Funktion kommt dabei herraus = - 13/15

Und bei der 2. Funktion kommt herraus = 13/15.

Also da kann ja etwas nicht stimmen und somit sind die Funktionen nicht stetig? Richtig?!

Du hast beim ersten mal 1/8 statt -1/8 in den TR eungegeben (vermute ich mal). Es kommt mit Sicherheit 13/15 heraus.

Außerdem hast du die Stetigkeit doch anhand des Graphen überprüft!!!!!

Du hast recht, ich habe mich da wohl vertippt. Ich danke Dir, dann haut es ja jetzt hin und ich kann es so notieren.

@Rentnerin: Wir reden hier über Mathe im GK und nicht über Mathe an der Uni. Insofern interessiert mich der Einwand nicht sonderlich.

Ist sie nicht. Aber Mathe an der Schule soll für Schüler verständlich bleiben. Mit zu viel theoretischem Blabla schafft man es meist leider nur, Mathe zu dem ach so beliebten fach zu machen, was es heute ist. Vielen Dank auch dafür.

Ich danke Euch beiden vielmals für Eure Hilfe. Ich möchte auf keinen Fall, dass deshalb jetzt hier Streit oder ähnliches entsteht. Wir haben in der Schule auch schon mit dem Limes gearbeitet, um die Stetigkeit zu überprüfen. Aber um eine Stammfunktion zu bilden, haben wir dies noch nie getan.

Ich werde meinen Nachhilfelehrer nochmal fragen, was er dazu sagt. Aber da ich die Aufgabe am Montag abgeben muss und diese auch benotet wird schreibe ich das jetzt einfach mit den 54/5 hin. Mal sehen ob es richtig ist oder nicht ;)

Also danke nochmal an alle!