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Integralrechnung ViertelKreis

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Tags: Integral

Andi28 aktiv_icon

22:41 Uhr, 11.03.2010

Hallo

Bräuchte die Herleitung des Schwerpunktes eines Viertelkreises. (Radius

r)

Bitte um Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

CKims aktiv_icon

22:49 Uhr, 11.03.2010

hmmm...

erstmal aus dem bauch raus wuerd ich sagen

4 \frac{\int_{0}^{r} \int_{0}^{\sqrt{r^{2} - x^{2}}} y d y d x}{π r^{2}} = . .

Andi28 aktiv_icon

08:42 Uhr, 13.03.2010

kann mit dieser Antwort nicht viel Anfangen

kann mir dies jemand Erklären?

Danke

NEPH1L1M aktiv_icon

10:18 Uhr, 13.03.2010

Hallo,

vielleicht hilft dir dieser Thread etwas weiter:

http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=134938&start=0#p984789

LG NEPHI

CKims aktiv_icon

11:35 Uhr, 13.03.2010

formel fuer schwerpunkt

\frac{1}{A} \int (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) d A

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

zeigt auf ein flaechenelement deines viertelkreises. diese ortsabhaengigen elemente addiert man alle zusammen und bildet den "duchschnitt", indem man durch die flaeche A deines viertelkreises teilt. die flaeche ist erstmal leicht zu berechnen

A = \frac{π r^{2}}{4}

das ist einfach die formel fuer eine kreisflaeche und das geteilt durch 4. in A eingesetzt ergibt das

\frac{4}{π r^{2}} \int (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) d A

damit man das jetzt moeglichst einfach ausrechnen kann, legen wir unseren kreismittelpunkt auf den ursprung eines koordinatensystems und lassen die koordinatenachsen unseren kreis vierteln. dann haben wir einen viertelkreis im 1 quadranten. so koennen wir uns schon denken, dass die

x

und

y

koordinate unseres schwerpunkts denselben wert annehmen wird, da unsere figur so schoen "symmetrisch" aufgebaut ist. wir brauchen uns also nur eine einzige koordinate

(z . B

y)

angucken.

\frac{4}{π r^{2}} \int y d A

sooo... jetzt muessen wir ueber die ganze kreisflaeche integrieren. das ist ein zweidimensionales objekt, ergo ein doppelintegral in

x

und

y

richtung

\frac{4}{π r^{2}} \int \int y d y d x

wir gehen auf der

x

achse bei null los und enden bei

r

\frac{4}{π r^{2}} \int_{0}^{r} \int y d y d x

y

richtung ist unser viertelkreis dann unten von

y = 0

begrenzt

\frac{4}{π r^{2}} \int_{0}^{r} \int_{0} y d y d x

und nach oben durch den kreisbogen begrenzt. kreisformel ist ja

x^{2} + y^{2} = r^{2}

. nach

y

umgestellt ergibt das

y = \sqrt{r^{2} - x^{2}}

und stellt unsere obere grenze des integrals dar.

\frac{4}{π r^{2}} \int_{0}^{r} \int_{0}^{\sqrt{r^{2} - x^{2}}} y d y d x

das muss man jetzt ausrechenen und du bekommst die

y

koordinate deines schwerpunkts. damit kennst du dann auch deine

x

koordinate des schwerpunkts, da dieser derselbe wie in

y

richtung sein muss.

lg

Andi28 aktiv_icon

15:44 Uhr, 14.03.2010

Dankeschön

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