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Integralrechnung ohne Taschenrechner

Schüler Gymnasium,

Tags: Integralrechnung, Nullstellen, ohne GTR

gretaaaa aktiv_icon

18:48 Uhr, 07.12.2013

Hallo!

Ich habe folgende Aufgabenstellung:
Berechnen Sie ohne Verwendung des GTRs den Flächeninhalt der Fläche, die der Graph der Funktion

f

über dem angegebenen Intervall mit der x-Achse einschließt.

Dazu lautet Teil

a) : f (x) = x^{2} - 2

im Intervall

- 2; - 1

Zunächst habe ich ganz einfach als obere Grenze

- 1

und als untere

- 2

gesetzt und ausgerechnet.
Dann ist mir aber aufgefallen, dass bei -√2 eine Nullstelle ist, und dass heißt, dass ich zunächst -√2 als obere Grenze und

- 2

als untere Grenze setzen müsste. (Da das Ergebnis fehlerhaft wäre, wenn ich Flächen mit negativem Betrag und solche mit positivem Betrag in einem Schritt berechnen würde)

Ich habe theoretisch ein Ergebnis, kann mir aber nicht vorstellen, dass dies so richtig ist (klingt zu kompliziert ;-))

Hier mein Rechenweg (die Schwierigkeit bestand in der Berechnung OHNE GTR)

1 .)

obere Grenze

(- 2)

in die Stammfunktion von

f (x)

einsetzen:

\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 2 \cdot (- 2) = \frac{4}{3}

2 .)

untere Grenze (-√2) in Stammfunktion:

\frac{1}{3} \cdot

(-√2)^3

- 2 \cdot

(-√2)

3 .)

substrahieren:

\frac{4}{3} - \frac{1}{3} \cdot

(-√2)

^3 - 2 \cdot

(-√2)

- \to

Dies ist dann schon meine Lösung der Fläche von

- 2

bis -√2. Ich weiß nicht, wie man ohne GTR weiter vereinfachen sollte.
Bin ich komplett falsch an diese Aufgabe herangegangen?

Danke für hilfreiche Kommentare!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
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Nullstellen
Nullstellen bestimmen
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Femat aktiv_icon

19:36 Uhr, 07.12.2013

rechne stur mit unterer Grenze

- 2

und oberer

- 1

Du brauchst den Nullpunkt nicht und auch keine Wurzeln.

gretaaaa aktiv_icon

20:08 Uhr, 07.12.2013

Naja, dann ist die Antwort falsch... Wir sollen schon Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse getrennt berechnen und die Teilergebnisse addieren

Femat aktiv_icon

20:44 Uhr, 07.12.2013

Na gut wenn das so verlangt ist machst halt so. Aber für die Wurzel nimmst den TR trotzdem.

rundblick aktiv_icon

22:08 Uhr, 07.12.2013

"Wir sollen Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse getrennt berechnen
und die Teilergebnisse addieren .."

f (x) = x^{2} - 2

im Intervall

[- 2; - 1]

@ gretaaaa :

bei deinem zu Beginn notiertem Rechenweg hast du obere Grenze

- 2

und untere

- \sqrt{2}

\to

das ist schon nicht ganz richtig

es ist

\to

\int_{- 2}^{- \sqrt{2}} (x^{2} - 2) = {[\frac{1}{3} x \cdot (x^{2} - 6)]}_{- 2}^{- \sqrt{2}} = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{2} - \frac{4}{3}

für die unterhalb der x-Achse liegende Fläche von

- \sqrt{2}

bis

- 1

ist der Betrag der Fläche

{[\frac{1}{3} x \cdot (6 - x^{2})]}_{- \sqrt{2}}^{- 1} = ...

. (rechne selbst)

die Summe dieser beiden Flächenmasszahlen ist dann wohl

A = \frac{1}{3} \cdot (8 \cdot \sqrt{2} - 9)

das kannst du doch als genauen Wert des gesuchten Ergebnisses so stehen lassen
fertig

wenn du willst könntest du ja noch ohne TR einen Näherungswert berechnen
(du weisst doch sicher, dass

\sqrt{2} = 1,414 . .

. ist ..

\to A ≅ 0,7706 . .

. )

gretaaaa aktiv_icon

13:11 Uhr, 08.12.2013

Okay, dankeschön!

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