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Integration einer Funktion

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: integrieren, Stammfunktion, Substitution

Gago1 aktiv_icon

13:46 Uhr, 10.10.2009

Hey Leute,
auf meinem Übungsblatt habe ich so ziemlich alle Aufgaben gekonnt. Nur bei einer Aufgabe kam ich nicht mehr weiter, da ich die im grundkurs felernte lineare Substitutionsregel nicht anwenden konnte.

S =

Integralzeichen

S z \cdot e^{z}^2 (z

mal

e

hoch

z

hoch 2)Als Hinweis ist noch angegeben das man die Subsitutionsregel anwenden kann. Trotz mehrerer Verushce kam ich jedoch nicht zum richtige ergebnis.

Wäre echt entt, wenn jemand helfen könnte. Danke schon ma im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

m-at-he

14:15 Uhr, 10.10.2009

Hallo,

zunächst mal: Mach Dich doch etwas vertraut mit dem Formeleditor und benutze Klammern, um zusammengehöriges auch zu kennzeichnen. Dann kann man Deine Aufgaben besser lesen.

Ich rate mal, daß hier gemeint ist:

z \cdot e^{(z^{2})}

Dann verstehe ich aber nicht, wieso Du trotz mehrer Versuche die Substituionsregel nicht anwenden konntest. Den ersten Versuch, den man in diesem Fall starten würde, wäre

z . B

y = z^{2}

und damit kommt man auch schnell zum Ziel. Versuch's doch mal damit und wenn Du es bereits damit versucht hast, es aber nicht zum Ende bringen konntest, dann stell doch mal Deinen Versuch hier rein. Dann können wir Dein Problem erkennen und Dir helfen!

Gago1 aktiv_icon

14:23 Uhr, 10.10.2009

ok ich werde es ma ausprobieren:-)

Gago1 aktiv_icon

14:42 Uhr, 10.10.2009

Ich hab als Ergebnis:

S =

Integralzeichen

S z \cdot e^{z^{2}} \to

susbtituiert mit

z^{2} = y

S y^{0.5} \cdot e^{y} d y

\frac{2}{3} \cdot y^{1.5} \cdot e^{y} - S y^{0.5} \cdot e^{y}

\frac{2}{3} \cdot y^{1.5} \cdot e^{y} - \frac{2}{3} y^{1,5} \cdot e^{y} = 0

kann das richtig sein, wenn nein, wo mache ich den fehler

: S

magix aktiv_icon

15:02 Uhr, 10.10.2009

Vorab mal: Integrale schreibt man hier als "int (ohne das Anführungszeichen).

Du hast bei der Substitution etwas Wesentliches weggelassen, nämlich den, ich nenne es mal "Korrekturfaktor", den du einfügen musst, wenn du

d z

durch

d y

ersetzt.

Gago1 aktiv_icon

15:17 Uhr, 10.10.2009

könntest du das vielleicht an diesem konrekten beispiel zeigen bitte, wäre echt nett. Zwar haben wir bei Nullstellenberechnungen bespielsweise substituiert, jedoch beim Integrieren nicht. Deshalb weiß ich nicht wie ich weiterechnen soll.

magix aktiv_icon

15:32 Uhr, 10.10.2009

Ich hoffe, dass ich es noch ganz richtig hinbekomme. Wenn nicht, dann bitte ich M-at-he ganz herzlich, mich zu korrigieren.

z^{2} = y

z = \sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}}

So weit hattes du es ja schon. Dann leite ich diese letzte Zeile nach

y

ab:

\frac{d z}{d y} = \frac{1}{2} \cdot y^{- \frac{1}{2}}

forme um

d z = \frac{1}{2} \cdot y^{- \frac{1}{2}} \cdot d y

und ersetze dann

d z

im Integral durch den obenstehenden Ausdruck

\int z \cdot e^{z^{2}} d z = \int y^{\frac{1}{2}} \cdot e^{y} \cdot \frac{1}{2} \cdot y^{- \frac{1}{2}} \cdot d y

wie du sehen kannst, kürzt sich das

y^{\frac{1}{2}}

nun gegen

y^{- \frac{1}{2}}

weg und es bleibt stehen:

\int \frac{1}{2} e^{y} d y = \frac{1}{2} \cdot \int e^{y} d y

Das zu integrieren ist nun sicher ein Kinderspiel. Und dann darf natürlich die Rücksubstitution nicht vergessen werden.

Gago1 aktiv_icon

15:40 Uhr, 10.10.2009

ich danke dir vielmals für dein bemühen und wünsche dir ein schönes wochenende magix:-)

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