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Integration, partielle Integration, e^(-x^2)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: e-Funktion, Integral

Raggy

18:27 Uhr, 17.12.2008

Hallo!
Mittlerweile komme ich schon ganz gut zurecht mit den vielen Integralen und dem drumherum. Aber immerwieder gibt es solche sch*** Integrale die so ziemlich spanisch aussehen.
Vielleicht kann mir jemand helfen:

Die Aufgabe lautet: Überprüfen Sie, ob folgende uneigentliche Integrale existieren und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Wert.

\int_{x = 1}^{\infty} (x \cdot e^{- x^{2}}) d x

Ich weiß, was dabei rauskommt, die Lösungen hab ich ja, und der Rechenweg ist teilweise auch angegeben. In den Lösungen wurde genauso gelöst, wie mein Ansatz war. Partielle Integration.
Bleibt das Integral

\int e^{- x^{2}} d x

zu lösen. Und der Schritt ist nicht angegeben, der GTR kann es nicht lösen, jedenfalls löst er es einfach nicht ;-) und ich hab auch keine Idee. Steh ich nur auf einem sehr langen Schlauch oder ist der Lösungsweg doch etwas komplizierter?

Vielen Dank schonmal für Hilfe!

Liebe Grüße,
Raggy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

GreenSurfer aktiv_icon

18:54 Uhr, 17.12.2008

Hallo, Du kannst das Integral nicht mittels partieller Integration lösen, hier entsteht bei zwingender Zuordnung

u = e^{- x^{2}}

und

v' = x

ein wesentlich komplexeres Integral als das Ausgangsintegral.
Bei diesem Term ist es sinnvoll die Integration durch Substitution zu wählen.
Substitution:

u = - x^{2} \Rightarrow \frac{d u}{d x} = - 2 x \Leftrightarrow d x = \frac{d u}{- 2 x}

Also:

\int x \cdot e^{- x^{2}} d x \to \int x \cdot e^{u} \frac{d u}{- 2 x} = - \frac{1}{2} \cdot \int e^{u} d u = - \frac{1}{2} e^{u}

Rücksub.:

\int x \cdot e^{- x^{2}} d x = C - \frac{1}{2} e^{- x^{2}}

Uneigentliches Integral:

\int_{1}^{\infty} x \cdot e^{- x^{2}} d x = lim_{a \to \infty} \int_{1}^{a} x \cdot e^{- x^{2}} d x = lim_{a \to \infty} [- \frac{1}{2} e^{- a^{2}} + \frac{1}{2} e^{- 1}] = 0 + \frac{1}{2} e^{- 1} = \frac{1}{2} e^{- 1}

\Rightarrow

Uneigentliches Integral existiert

Gruß

Raggy

01:55 Uhr, 18.12.2008

hui ui ui so sieht das plötzlich logisch aus... aber wieso nicht einfach so partiell integrieren:

u = x

und

v' = e^{- x^{2}}

?
so fällt mein

x

im integral weg und ich hab mein

e^{- x^{2}}

integral problem...

das sieht verdammt schön aus wie du das integriert hast und das ist wahrscheinlich auch die schönste und einfachste lösung meines integrals. Aber wenn ich partout nicht auf deinen gedanken komme sondern unbedingt meine version versuche, anzuwenden, komme ich da auch zu keinem Ziel, das sinnvoll endet oder gibts da auch einen lösungsweg?

liebe grüße
raggy

GreenSurfer aktiv_icon

09:20 Uhr, 18.12.2008

Ganz einfach: Die Funktion

u

muss differenziert werden, und die Funktion

v'

muss integriert werden. Es kann allerdings keine Funktion mit nicht-linearem Argument (hier

- x^{2})

elementar integriert werden. Nur die lineare Verkettung

f (a \cdot x + b)

lässt eine Integration zu.
Deshalb kannst Du diese Zuweisung nicht tätigen und bist - wie gesagt - zwingend und nur theoretisch an die andere Variante gebunden, welche ins Verderben führt... :-)

Gruß

Raggy

17:50 Uhr, 18.12.2008

vielen vielen Dank!

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