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Integrationsreihenfolge vertauschen - wie?

Universität / Fachhochschule

Tags: Doppelintegral, Integral

Nekks aktiv_icon

00:18 Uhr, 27.03.2016

Hallo

gegeben sei folgende Grundfläche:

A = {(x, y) \in R^{2} | 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}

\int \int

f(x,y)dA

(A)

Nun sollen die Integrationsgrenzen so gewählt werden, dass
Nr

1) \int_{y} \int_{x} f (x, y) d x d y

2) \int_{x} \int_{y} f (x, y) d y d x

gilt.

Ich dachte daran,

\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} = 2

zu lösen, um eine quadratische Grundfläche zu erhalten.

Was tun?

lg

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

12:01 Uhr, 27.03.2016

Hallo,

"um eine quadratische Grundfläche zu erhalten." Die Grundfläche ist nicht quadratisch, es handelt sich um den Aussschnitt einer Ellipse.

Am besten skizzierst Du Dir das Gebiet mal - wenn Du es nicht überblickst berechne Punkte mit dem Taschenrechner.

So wie das Gebiet jetzt beschrieben ist, wäre das Integral

\int_{0}^{2} [\int_{0}^{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} f (x, y) d y] d x

Wenn Du die andere Reihenfolge haben willst, musst Du Deine Skizze analysieren und
die zweite Bedingung umstellen:

y^{2} + \frac{x^{2}}{4} \leq 1 \Rightarrow . .

.

Gruß pwm

Nekks aktiv_icon

13:51 Uhr, 27.03.2016

Danke für Deine Antwort.

Müssten die Grenzen folglich

\int_{0}^{2} \int_{2 \cdot \sqrt{1 - y^{2}}}^{2} f (x, y) d x d y

gewählt werden?

liebe Grüße

ledum aktiv_icon

18:03 Uhr, 27.03.2016

Hallo
hast du die Skizze gemacht? wo darin ist

y = 2, d . h

. überprüfe nochcmal deine grenzen für

y

Gruß ledum

Nekks aktiv_icon

21:14 Uhr, 27.03.2016

Vielen Dank für deine Antwort. Ich werde es mir morgen in Ruhe anschauen!

Ich habe noch eine Verständnisfrage zu Integrationsgrenzen bei der Volumenbestimmung im euklidischen Raum über eine Fläche A.
Wenn ich den Stoff heute verstanden habe, dann sind die Integrationsgrenzen für

x_{1} .

x_{2}

bzw.

y_{1} .

y_{2}

dann konstant, wenn parallele Geraden zu der entsprechend entgegengesetzten Achse existieren. In allen anderen Fällen sind sie von dem Wert

y

abhängig, wenn die Integrationsgrenze

x_{1}

und..oder

x_{2}

keine Konstanten sind. Analog zu

y_{1}

und..oder

y_{2}

.

Wie kann man sich das vorstellen? Vor allem die Abhängigkeit von den Werten von

x

bzw y?

Ist bspw.

x \in [x_{1}; x_{2}]

damit gemeint?

Wie sieht die Situation aus, wenn das Volumen einer Funktion über eine Fläche A ermittelt werden soll?

A ist ein Parallelogramm mit den Eckpunkten:

P_{1} (1,1)

P_{2} (3,1)

P_{3} (2,3)

P_{4} (4,3)

Funktion:

f (x, y) = 2 x \cdot y^{2}

Man hätte in diesem Fall zwei Parallelen zur x-Achse, dürfte/müsste ich für

y_{1}

und

y_{2}

Konstanten wählen?

y_{1} = 1, y_{2} = 3

\Rightarrow \int_{y 1}^{y_{2}} [\int_{x_{1} = g (y)}^{x_{2} = g (y)} f (x, y) d x] d y

g (y) = y + 1

?

Ich hoffe sehnlichst auf eure Unterstützung!

liebe Grüße

ledum aktiv_icon

21:46 Uhr, 27.03.2016

Hallo
du willst deine grundfläche mit kleinen quadraten der flächen

d x \cdot d y

ausfüllen, nimm erst mal nicht infinitesimale Größen
dann teilst du deine Grundfläche in Streifen der Breite

Δ x

parallel zur y-Achs und in streifen der Breite chse und in Atreifen der Breite

Δ y

parallel zur

x -

Achse. dann siehst du

z . b,

in deinem Parallelogramm, dass nur die Streifen

Δ y

gleich lang sind die anderen fangen kurz an und hören kurz auf. du kannst jetzt erst waagerecht eine Reihe aufsummieren und danach alle waagerechten Reihen addieren, dabei natürlich immer mit der Höhe der darübersteigenden Säule (Quader multiplizieren.
das Verfeinern mit

Δ x

und

Δ y \to 0

ändert an der Anschauung nichts.
Gruß ledum

Nekks aktiv_icon

22:47 Uhr, 27.03.2016

Vielen Dank für Deine Antwort!

Das habe ich nun verstanden, man hat parallel zur

x

Achse gleich lange Strecken innerhalb der Fläche. Die Strecken parallel zur y-Achse fallen unterschiedlich aus.
Gilt nun

Δ x, Δ y \to 0,

dann sind alle Flächen

Δ x \cdot Δ y

gleich groß. Überträgt man es auf andere Flächen, ist der Fall stets der gleiche?
Beschränkt man sich nur auf die Strecken parallel zur

y

Achse, so hat man für die resultierenden Flächen unterschiedliche Größen, deshalb muss die Funktion

g (y)

als Itegrationsgrenzen für

x

ermittelt werden, aber wie?

Die Sache mit dem Aufsummieren der waagrechten Linien habe ich nicht ganz verstanden. Ein Integral (bspw das Innere mit den variablen Grenzen) muss berechnet werden, damit man die waagrechten Linien aufsummieren kann, oder wie?

lg

Nekks aktiv_icon

19:59 Uhr, 28.03.2016

Kannst du mir nur die Lösung zeigen, ich schaue es mir an und versuche es zu verstehen.
Wäre Dir dafür sehr dankbar! (zu der Aufgabe mit dem Parallelogramm)

Meine Lösung wäre:

\int_{y = 1}^{3} \int_{x = y + 2}^{y + 4} 2 x \cdot y^{2} d x d y

= \int_{y = 1}^{3} (\frac{2}{3} \cdot y^{2} \cdot {[x^{3}]}_{y + 2}^{y + 4}) d y

= \int_{y = 1}^{3} (\frac{2}{3} \cdot y^{2} \cdot (6 y^{2} + 36 y + 56)) d y

= \int_{y = 1}^{3} (2 y^{4} + 12 y^{3} + \frac{112}{3} y^{2}) d y

= \frac{2}{5} \cdot {[y^{5}]}_{1}^{3} + 3 \cdot {[y^{4}]}_{1}^{3} + \frac{112}{9} \cdot {[y^{3}]}_{1}^{3}

= \frac{484}{5} + 240 + \frac{2912}{9} \approx 660,4

Was mit Sicherheit falsch ist..

liebe Grüße

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