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Intregralrechnung/ Rotationskörper

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Integral, Rotationskörper

susiu aktiv_icon

18:05 Uhr, 11.12.2010

Die von dem Graphen zu

f (x) = - x + 6

und

g (x) = - 2 x^{2} + 4 x + 6

eingeschlossene Fläche rotiert um die 1. Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Körpers.

Ich habe für diese Aufgabe auf 2 verschiedene Weisen ausgerechnet. Einmal lautet mein Ergebnis

40,906

und einmal

114,94

. Welche Lösung von beiden ist richtig (falls überhaupt eine stimmt)? Oder wie lautet die richtige Lösung?

ich würde mich total über Antwort freuen!
Grüße SusiU

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Alx123 aktiv_icon

18:20 Uhr, 11.12.2010

Hallo,
also wenn ich das am PC berechne, dann erhalte ich:

197, 36

.
Wie hast du es denn berechnet?

susiu aktiv_icon

18:32 Uhr, 11.12.2010

V = Π e \cdot

Integral von 0 bis

2,5 {(- x + 6)}^{2} d x - Π e \cdot

Integral von 0 bis

2,5 (- 2 x^{2} + 4 x + 6) d x

= 114,94

(sry bei mir klappt das mit den zeichen nicht)

Alx123 aktiv_icon

18:36 Uhr, 11.12.2010

Das musst du umgekehrt voneinander abziehen, so würdest du ja ein negatives Ergebnis erhalten, da ja

g (x)

auf dem Integrationsintervall grösser ist als

f (x)

.
Was hast du denn beim ersten Rotationskörper?

susiu aktiv_icon

18:44 Uhr, 11.12.2010

achso, ja stimmt. Habe jetzt

g (x) - f (x)

gerechnet. Da kommt aber auch

114,94

heraus. Kann das vielleicht doch stimmen?

Alx123 aktiv_icon

19:01 Uhr, 11.12.2010

Also ich habe:

π \int_{0}^{2, 5} g^{2} (x) d x = π \int_{0}^{2, 5} {(- 2 x^{2} + 4 x + 6)}^{2} d x = π \int_{0}^{2, 5} 4 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 48 x + 36 d x \approx 377, 65

π \int_{0}^{2, 5} f^{2} (x) d x = π \int_{0}^{2, 5} {(- x + 6)}^{2} d x = π \int_{0}^{2, 5} 36 - 12 x + x^{2} d x \approx 180, 3

susiu aktiv_icon

19:15 Uhr, 11.12.2010

f (x)

erscheint mir logisch. Nur verstehe ich nicht was du bei

g (x)

gerechnet hast, denn

{(- 2 x^{2} + 4 x + 6)}^{2} = (4 x^{4} + 16 x^{2} + 36)

oder nicht????!!!

Alx123 aktiv_icon

19:40 Uhr, 11.12.2010

Nein, hier musst du die Binomische Formel anwenden, du kannst es ja auch ausmultiplizieren, es gilt ja:

{(- 2 x^{2} + 4 x + 6)}^{2} = (- 2 x^{2} + 4 x + 6) \cdot (- 2 x^{2} + 4 x + 6)

susiu aktiv_icon

19:52 Uhr, 11.12.2010

welche binomische formel soll das denn sein? die erste, zweite und dritte ist es nicht. gibt es noch mehr? (sry für die blöden fragen, aber ich versteh das im moment nicht)

Alx123 aktiv_icon

19:59 Uhr, 11.12.2010

Die erste Binomische Formel, du betrachtest einfach zwei Summanden als einen, z.b:

a = - 2 x^{2} + 4 x

b = 6

es gilt ja:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

also:

{(- 2 x^{2} + 4 x + 6)}^{2} = {(- 2 x^{2} + 4 x)}^{2} + 2 \cdot (- 2 x^{2} + 4 x) \cdot 6 + 6^{2}

Für den Term ganz links:

{(- 2 x^{2} + 4 x)}^{2}

kann man ja wieder die Binomische Formel anwenden aber es würde wohl schneller gehen wenn du es einfach ausmultiplizierst.

susiu aktiv_icon

20:16 Uhr, 11.12.2010

ach, ich glaube diese Aufgabe ist hoffnungslos bei mir (aber teilpunkte werde ich dafür schon noch bekommen!) also vielen dank für die Hilfe!!!!
ich habe zu diesem thema noch eine allgemeine frage:

wenn man den von 2 funktionen eingeschlossenen flächeninhalt berechnet hat. Kann man dann einfach das Ergebnis (das Volumen) mal PIE nehmen um zu diesem Flächeninhalt den Rhotationskörper zu berechnen??
Oder müsste man hierfür die flächeninhalte von

f (x 9

und

g (x)

einzeln ausrechnen und dann den weiter unten liegenden vom oberen abziehen?

Alx123 aktiv_icon

20:25 Uhr, 11.12.2010

Nein, wenn du erst denn Flächeninhalt zwischen den Funktionen berechnest und diesen hoch zwei nimmst und anschliessend mit

π

multiplizerst, dann erhälst du nicht das Rotationsvolumen des Rotationskörpers der durch die Fläche erzeugt wird die von den zwei Funktionen umschlossen wird. Du musst also die zwei Rotationsvolumen bestimmen und sie zum Schluss voneinander abziehen, wenn du dabei einen negativen Wert erhälst, hast du entweder falsch gerechnet oder, wie schon oben geschreiben, muss du die Interale umgekehrt voneinanader abziehen, du nimmst also einfach den Betrag.

Die Aufage ist ja nicht " hoffnungslos ". Du hast ja fast alles richtig gemacht, du hast dich einfach verrechnet.

susiu aktiv_icon

20:33 Uhr, 11.12.2010

achso,

d . h

. wenn

A =

Integral von 0 bis 4 von

(g (x) - f (x)) d x,

dann könnte ich das Volumen des Rotationskörpers so ausrechenen:

V =

PIE* Integral von 0 bis 4 von

{(g (x) - f (x))}^{2} d x

oder müsste ich

f

und

g

einzeln berechnen und dann voneinander abziehen:

V =

PIE

\cdot

Integral von 0 bis 4 von

{(g (x))}^{2} d x -

PIE

\cdot

Integral von 0 bis 4 von

{(f (x))}^{2} d x

???

Alx123 aktiv_icon

20:39 Uhr, 11.12.2010

Jetzt hast du das nicht mathematisch eindeutig beschrieben. Wenn

f (x)

und

g (x)

eine Fläche A umschliessen und das Rotationsvolumen

V_{x}

um die x-Achse, berechnet werden soll, dann rechnest du es folgendermaßen aus:

V_{x} = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x - π \int_{a}^{b} g^{2} (x) d x

wobei

a, b

natürlich die Schnittpunkte der zwei Funktionen sind.

JueKei aktiv_icon

20:41 Uhr, 11.12.2010

(Alx123 scheint off zu sein? edit: ups doch nicht, sry)

Du musst bei Rotationskörpern schon die beiden Volumina voneinander abziehen. Wenn es dir um den Flächeninhalt zwischen den Funktionen geht, kann man abziehen und dann integrieren (ist auch meist eleganter).
Beim Rotationskörper klappt das nicht. Bei deinen Funktionen

z . B

. es entsteht ja eine Art Ring bei der Rotation. Wenn du die Funktionen voneinander abziehst 'rutscht' die Fläche auf die x-Achse und wird beim Rotieren ein verzerrter Klopps.

susiu aktiv_icon

20:42 Uhr, 11.12.2010

ok, danke. Aber warum kann man

f (x)

und

g (x)

nicht einfach in ein integral schreiben. Warum muss man beide funktionen einzeln ausrechnen und dann voneinander abziehen? würde da nicht das gleiche herauskommen?

susiu aktiv_icon

20:44 Uhr, 11.12.2010

Vielen Dank!!!!!!! :-) Jetzt hab ich es verstanden!

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