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Keplersche Fassregel (konkret)

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Analysis, Fassregel, Integral, Kepler, Keplersche Faßregel

mitschke aktiv_icon

16:57 Uhr, 20.01.2009

Hallo!
Ich beschäftige mich momentan mit der Keplerschen Fassregel und habe ein großes Problem:

Ich hab einerseits dieses Ding (Sorry, ich will es nicht falsch bezeichnen), welches in meinem Mathebuch als Fassregel bezeichnet wird:
Integral von a bis

b : f (x) d x = \frac{1}{6} (b - a) [f (a) + 4 \cdot f (\frac{a + b}{2}) + f (b)]

Andererseits aus Internet-Materialien diese "Fassregel" (wird genauso genannt):
Zur Berechnung der Querschnittfläche:

A = \frac{h (f (r) + 4 f (m) + f (s))}{6}

Und aus dieser folgend für das Volumen:

V = Π \cdot h \cdot \frac{{f (r)}^{2} + 5 {f (m)}^{2} + {f (s)}^{2} + f (m) \cdot f (r) + f (m) \cdot f (s)}{9}

Also, ich verstehe nicht wie und ob die beiden unteren Formeln mit der oben genannten zusammenhängen.Vielleicht sind auch die Variaben falsch gewählt...bin über Hilfe sehr dankbar.Leider kann ich auch keine "Lösungversuche" anbieten, da ich hier sher ratlos bin und es eher einfach einer Erklärung als einer Lösung bedarf.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Enrico aktiv_icon

08:58 Uhr, 21.01.2009

Hallo,

wenn du für

h = b - a

r = a

s = b

setzt, dann kommst du auf die Formel die du aus deinem Mathebuch kennst.

Die zweite Formel gilt für das Volumen eines Rotationskörpers.
Bei Wikipedia kannst du den Zusammenhang nachlesen:
http//de.wikipedia.org/wiki/Keplersche_Fassregel

LG Enrico

mitschke aktiv_icon

18:20 Uhr, 21.01.2009

Vielen Dank, das habe ich jetzt verstanden!

Ich habe noch ein Problem bei der Herleitung:
Aus der Formel:

\frac{(h \cdot \frac{f (r) + 2 \cdot f (m) + f (s)}{2}) + h \cdot f (m)}{3}

wird nach der Umformung die Formel:

h \cdot \frac{f (r) + 4 \cdot f (m) + f (s)}{6}

Warum ist es denn

4 \cdot f (m)

?
Hoffe, mir kann da jemand weiterhelfen!
Lg,Michi

mitschke aktiv_icon

19:49 Uhr, 21.01.2009

Hat sich erledigt, habe es selbst verstanden.
Habe aber noch eine andere Frage:
Es geht immer noch um die Keplersche Fassregel und im Buch steht, die Funktion muss, damit man die Fassregel anwenden kann, auf dem gegebenen Intervall

(a; b)

stetig sein.
Bei einer Beispielaufgabe

(\frac{2}{1 + x^{2}});

auf dem Intervall von 0 bis

1)

wird dann, bevor die Regel angewendet wird, in die Formel

0; \frac{1}{2}

und 1 eingesetzt.Hat das auch den Zweck, die Stetigkeit zu erkennen?Wenn ja, wie erkennt man aus den LÃ¶sungen

(0 = 2; 1 = 1; \frac{1}{2} = \frac{8}{5})

ob die Funktion stetig ist?

LG, mitschke

Enrico aktiv_icon

16:34 Uhr, 17.03.2009

Da ist mir doch eine Frage von Dir entgangen... Entschuldige.

Aber hier die Antwort:

Das Einsetzen der jeweiligen Werte hat "direkt" mit der Stetigkeit nichts zu tun.
Die Funktionswerte in

0, \frac{1}{2}

und 1 werden ja für die Berechnung der Fassregel verwendet.

Wäre jetzt eine Funktion in mehreren Punkten unstetig und zwar weil sie eben dort in diesen Punkten Funktionslücken hat, ja, dann wäre das einsetzen der Punkte ein Hinweis dafür, dass die Funktion unstetig ist, aber so wird keine Funktion auf Stetigkeit geprüft.

Wie die Stetigkeit definiert ist und wie man dementsprechend sie nachprüft kann man hier nachlesen:
http//www.onlinemathe.de/mathe/inhalt/Stetigkeit

LG

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