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Kreise im Quadrat

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Tags: Anordnung, Kreis, Quadrat

619-rey aktiv_icon

21:18 Uhr, 13.10.2008

Aufgabe:
5 (gleich große) Kreise sollen in einem Quadrat untergebracht werden.
Wie groß kann der Radius maximal sein, wenn die Seitenlänge des Quadrats

25

cm ist?

meine erste überlegung

\to

die kreise der diagonalen entlang anordnen...

der Radius wäre dann:

s \cdot \sqrt{2} = 4 r + 2 r \cdot \sqrt{2}

. .

d ~ 10,35

gibt es eine bessere anordnung mit der ein größerer radius möglich wird?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
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anonymous

21:56 Uhr, 13.10.2008

Meinen Lösungsweg zu erklären ist etwas kompliziert...
Ich muss aber fragen, bist du dir sicher, dass dein Ergebnis den Radius angibt und nicht den Durchmesser?

Nach meiner Rechnung bei der für mich optimalen Anordnung komme ich für den Radius auf einen Wert von rund

5,66

.
Das wäre ungefähr die Hälfe deines Radiuswerts, wobei ich jetzt eben behaupten würde, dass dein Ergebnis der Durchmesser der Kreise ist.

Um meine Frage zu untermauern.
Bei einem Radius von ca.

10

cm, wäre allein der Durchmesser eines Kreises bei ca.

20

cm.
Da reichen schon 2 Kreise aus um bei dem Durchmesser über die angegebene Seitenlänge von 25cm zu kommen.
Auch von dieser Überlegung her würde ich sagen, dass dein Ergebnis der Durchmesser ist und mein Ergebnis (oder die Hälfe deines Ergebnisses) wäre dann der Radius.

619-rey aktiv_icon

22:10 Uhr, 13.10.2008

ja du hast natürlich recht, ich habe mein ergebnis für den durchmesser angegeben (gerundet)

aber ist das (meine

;

) )die beste anordnung?

was ist dein lösungsweg?

anonymous

22:16 Uhr, 13.10.2008

Also ich habe einen Kreis in die Mitte gesetzt und die anderen 4 Kreise in gleichem Abstand, sozusagen in die Ecken gesetzt.
Würde man einen Kreis nach oben oder unten verschieben würde sich automatisch der Radius verkleinern, also ich denke, dass es die beste Anordnung ist und dabei der Radius jeweils rund

5,66

cm beträgt.

619-rey aktiv_icon

22:26 Uhr, 13.10.2008

hmm... ich komm auf

5,177

mit

s \sqrt{2} = 4 r + 2 r \sqrt{2}

wie hast du gerechnet?

Bamamike aktiv_icon

22:35 Uhr, 13.10.2008

Ich kann den Ansatz nicht verstehen. Es werden drei Kreise in einer Diagonalen untergebracht,

d . h

. Kreis in der Mitte und

4

in den Ecken

s \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot r

damit komme ich auf r=5.89cm

anonymous

22:41 Uhr, 13.10.2008

Also erstmal hab ich mir die 5 Kreise in der besagten Anordnung aufgemalt.
1 Kreis in der Mitte, die 4 anderen in einer quadratischen Anordnung drumherum.
Da die Kreise press aneinander liegen ist der Abstand der Mittelpunkte der Mittelkreises und der Außenkreise jeweils

d

oder

2 r

.
Dann habe ich mir überlegt wie eine horizontale Seitenlänge der Quadrats beschrieben werden könnte.
Oben und unten jeweils ein

r

und dazwischen haben wir noch jeweils

1 r

und eine Lücke.
Diese "inneren Radien" und die Lücke habe ich wie folgt beschrieben,

(x

ist die Hälfte der Lücke)

r + x = d \cdot cos (45)

oder

r + x = 2 \cdot r \cdot cos (45)

x = 2 r \cdot cos (45) - r

Eine Länge des Quadrats kann man auch wie folgt beschreiben:

25 = 2 r + 2 (r + x)

25 = 2 r + 2 r + 2 x

25 = 4 r + 2 x

jetzt das

x

von oben einsetzen

25 = 4 r + 2 (2 r \cdot cos (45) - r)

25 = 4 r - 2 r + 4 r \cdot cos (45)

25 = 2 r + 4 r \cdot cos (45)

25 = 4 r (\frac{1}{2} + cos (45))

4 r = \frac{25}{\frac{1}{2} + cos (45)}

r = \frac{25}{4 \cdot (\frac{1}{2} + cos (45))}

r = 5,17766953 . .

.

Wie mir jetzt auffällt ist mir vorhin ein kleiner Rechenfehler unterlaufen.
Auf jeden Fall stimmt dein Wert als Durchmesser.

619-rey aktiv_icon

22:43 Uhr, 13.10.2008

wenn

s \sqrt{2} = 6 r

dann geht der radius des kreises bis in den eckpunkt und ein teil des kreises würde "überstehen",

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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anonymous

22:47 Uhr, 13.10.2008

Also bei meiner Rechnung habe komme ich nicht bis in die Ecken sondern berechne nur horizontal oder vertikal aber nicht diagonal.

Bamamike aktiv_icon

00:35 Uhr, 14.10.2008

Alles klar, hab

2 \cdot x

übersehen, die Lücken in den Ecken.
Eine Ecke hat dann

r + x = \sqrt{2} \cdot r,

also

x = (\sqrt{2} - 1) \cdot r

Drei Kreise diagonal demnach

\sqrt{2} \cdot r + 4 \cdot r + \sqrt{2} \cdot r

Damit komme ich jetzt auch auf einen Durchmesser von 10,355cm

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