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Kreisgleichung im Komplexen

Universität / Fachhochschule

Tags: Komplex, Kreis, spiegelung

 
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shiroxx

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20:42 Uhr, 22.11.2020

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Guten Abend,

es geht um Kreise in der Ebene, wobei diese mit den komplexen Zahlen identifiziert wird. Nun habe ich in "Agricola, Friedrich (2015):Elementargeometrie". Folgende Definition für einen verallgemeinerten Kreis gefunden:

E(x2+y2)+F1x+F2y+G=0 mit (x,y)∈R2

Und die Koeffizienten jeweils reel. Wenn E=0 und (F1,F2)≠0 beschreibt die Gleichung eine Gerade.

Im zweiten Schritt wird zu den komplexen Zahlen übergegangen und es wird
z=x+iy und F=12(F1-iF2) gesetzt. So ist die allgemeine Kreisgleichung äquivalent zu
E∣z∣2+Fz+F‾z‾+G=0
Jetzt steht im Buch, dass man ein Zentrum mit -F‾/E und Radius (∣F∣2-EG)/∣E∣ erhält . Darauf komme ich leider auch gar nicht.

Könnt ihr dabei helfen, wie ich das nachrechnen kann bzw. aus der oberen Gleichung herleiten kann?

Vielen Dank schon mal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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DrBoogie

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20:52 Uhr, 22.11.2020

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Wenn E≠0, dann hast du am Anfang die Gleichung
(x2+y2)+F1Ex+F2Ey+GE=0
oder umgeformt
(x+F12E)2+(y+F2E)2=F124E2+F224E2-GE.
Damit hast du das Zentrum (-F12E,-F22E) und den Radius (F124E2+F224E2-GE)1/2.
Wenn wir den Paaren (x,y) komplexe Zahlen x+iy zuordnen, wird aus
(-F12E,-F22E) die Zahl -F12E-iF22E=-F1/2+iF2/2E=-F‾E.
Damit hast du dein Zentrum.
Für den Radius haben wir
(F124E2+F224E2-GE)1/2=(F124+F224-EG)1/2∣E∣=(∣F∣2-EG)1/2∣E∣
Frage beantwortet
shiroxx

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20:59 Uhr, 22.11.2020

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Vielen Vielen Dank!
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

23:58 Uhr, 27.11.2020

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Ich müsste noch einmal nachhaken. Ich komme gerade nicht mehr drauf, wieso im zweiten Gleichheitszeichen in der allerletzen Rechnung ein ∣E∣ im Nenner steht.

Liebe Grüße
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

00:03 Uhr, 28.11.2020

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Ich bringe was links steht in die Form (...E2)1/2, das ist dann dasselbe wie (...)1/2∣E∣.
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

00:06 Uhr, 28.11.2020

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Weil die Wurzel als positive Lösung definiert ist, ist dann E=∣E∣?

Ich danke Dir.
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

00:13 Uhr, 28.11.2020

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Ja, und eine negative Zahl würde keinen Sinn ergeben, denn der Radius kann nicht negativ sein.
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