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Kreissegment r^2/2*alpha-sinalpha
Schüler
Tags: Geometrie, herleiten, Kreis
 
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Hi Leute, ich sitze im Moment bei der Herleitung der Formeln für ein Kreissegment. Bei einer Formel komm ich aber nicht weiter: Ich hab bisher den Ansatz das Dreieck zu erweitern und die Sinusfunktion en zu nutzen doch ich komm einfach nicht dahinter. Das Grundprinzip A(Kreissegment)=A(Kreissektor)-A(ΔABM) ist mir klar :-D) Danke schon mal im Voraus für jegliche Antwort Gruß sheldonn Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff) Kreis (Mathematischer Grundbegriff) Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Grundbegriffe der ebenen Geometrie Kreis und Mittelsenkrechte Kreis: Umfang und Flächeninhalt Kreise und Lagebeziehungen Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade |
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So eine ÄHNLICHE Formel steht auch in Wikipedia zu diesem Thema. Da sind auch noch ein paar Klammern dabei und der Hinweis, dass alle Winkel im Bogenmaß sind. Vielleicht liegt es daran. |
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Mir geht es ja um die Herleitung der Formel und das steht bei Wikipedia ja leider auch nicht |
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kann es sein (wie Stephan schon bemerkte) , dass es daran liegt, dass Du in Deiner obigen Formel die Klammer um vergessen hast? Die Fläche des Dreieckes kannst Du aus der Länge der Sehne des Kreisabschnittes und der Dreiecks-Höhe mit bestimmen, indem Du Sinus- und Kosinusfunktionen des "halben Mittelpunktswinkels" verwendest. Mit den "Additionstheoremen" kommst Du schließlich auf ;-) |
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Das hilft mir auf jeden Fall schon mal weiter, jedoch kann ich noch nicht so ganz nachvollziehen wie ich die Sinus und Kosinusfunktionen anwenden soll. |
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Mach bitte eine Skizze und trage die in meinem Post von Uhr, genannten Bezeichnungen ein. |
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alpha = a Die Fläche des Stück Kuchens ist r² * (a/2). Wenn das Stück Kuchen zu einem ganzen Kuchen wird, alpha also 360 Grad oder 2*pi wird, beträgt die Fläche r²*(a/2) = r²*((2*pi)/2) = r² * pi. Die Fläche des Dreiecks ist (1/2) * (Grundseite) * (Höhe). Die Länge der Grundseite beträgt (2*r*sin(a/2)). Die Höhe des Dreiecks beträgt (r*cos(a/2)). Die Fläche des Dreiecks beträgt (1/2) * (2*r*sin(a/2)) * (r*cos(a/2)) = r² sin(a/2) * cos(a/2). Nun nutzt man aus, dass 1/2 * sin(a) = sin(a/2) * cos(a/2) gilt und schreibt für die Fläche des Dreiecks (r²/2) * sin(a). Die Differenz Stück Kuchen Minus Dreieck ist: r²*(a/2) - (r²/2) * sin(a) = (r²/2) * (a - sin(a)) |
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An ahmedhos: Danke dass hilft mir schon mal sehr. Die einzige Frage, die ich jetzt noch habe ist, welches Gesetz oder Satz es ist, der oder das mir ermöglicht sin(x)*COS(x) so zu schreiben. |
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Additionstheorem für Sinus nennt sich das. sin(x+y) = sin(x) * cos(y) + sin(y) * cos(x) Setze x = y = t: sin(2t) = 2 * sin(t) * cos(t) |
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Danke damit hat sich das erledigt :-) |
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