Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Krümmungsverhalten gebrochen rationale Funktion

Krümmungsverhalten gebrochen rationale Funktion

Schüler Kolleg,

Tags: Gebrochen-rationale Funktionen, Krümmungsverhalten

foobarbaz aktiv_icon

22:37 Uhr, 12.10.2016

Ich habe eine gebrochenrationale Funktion:

f (x) = 3 \frac{x}{x^{2} - 4}

. Ich will nun das Krümmungsverhalten bestimmen. In diesem Video www.youtube.com/watch?v=2r4a1dIvX0M hat die Person die Nullstelle der zweiten Ableitung genommen in meinem Fall,

f'' (x) = 6 x \cdot \frac{x^{2} + 12}{{(x^{2} - 4)}^{3}}, f'' (0) = 0,

also 0. Dann hat diese Person gesagt, dass man gucken muss wie die Funktion sich verhält für

x > 0

und

x < 0

. Nun verstehe ich nicht wie mir das bei meiner Funktion weiterhilft. Bei seinem Beispiel war ziemlich offensichtlich was passiert wenn

x < 0

oder

x > 0

ist. Aber wenn ich jetzt bei mir beispielsweise den Fall

x > 0

betrachte, verwirre ich mich ein wenig. Wenn ich für

x = 1

nehme wird der untere Teil des Bruches negativ sein

{(1^{2} - 4)}^{3} = - 27

und für

x = 3 {(3^{2} - 4)}^{3} = 125

. Wie soll man das bewerten?? Das Vorzeichen ist dann ja verschieden für den jeweiligen Fall. Es wäre nett wenn ihr mich illuminieren könntet.

Mit freundlichem Gruß
foobarbaz

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Wendepunkte (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ma-Ma aktiv_icon

22:47 Uhr, 12.10.2016

Ich hab mir das Video nicht angeguckt.
Welches Hintergrundwissen hast Du zum Thema Kurvendiskussion.

1)

Wann ändert sich das Krümmungsverhalten einer Funktion ?
Wie heisst dieser Punkt ? Wie ermittelt man ihn ?

2)

Formelsammlung Konkav- und Konvexbogen (Thema Kurvenuntersuchungen)

. .

. gefunden ?

3)

Ist Deine Funktion stetig oder hat sie Polstellen ?

Wenn Du das ermittelt hast, erst dann ist eine Untersuchung des Krümmungsverhaltens in bestimmten Intervallen sinnvoll.

LG Ma-Ma

foobarbaz aktiv_icon

23:00 Uhr, 12.10.2016

Aaah okay........ Ich bin auch schlau (Sarkasmus)... Es ist wahrscheinlich sinnergebend diese Untersuchung bis zu den Definitionsrändern durchzuführen.. Also von

0 < 2

und

0 > 2

. Da existieren ja Polstellen. Oder liege ich da auch falsch? Und krümmen können sich ja auch nur Wendepunkte oder nicht?

Ma-Ma aktiv_icon

23:13 Uhr, 12.10.2016

Ein paar gute Körnchen sind schon in Deiner Antwort dabei.

Idealerweise lässt Du Dir die Funktion mal plotten.
In einer Klausur muss man sich meist selbst an den Funktionsverlauf
(Extrema, Wendepunkte, Polstellen, Verhalten an den Polstellen und im Unendlichen) heranarbeiten.

Am WENDEPUNKT (und an den Polstellen) ändert sich die Krümmung.

Hast Du in Deiner Formelsammlung die Formel für den Nachweis der Krümmung (konvex/konkav) gefunden ?

foobarbaz aktiv_icon

23:21 Uhr, 12.10.2016

In meiner Formelsammlung habe ich leider nichts dazu gefunden. Aber online habe ich diese Formeln für jeweils konkav:

f'' (x) < 0

und konvex:

f'' (x) > 0

gefunden

Ma-Ma aktiv_icon

23:38 Uhr, 12.10.2016

Das Du nix in Deiner Formalsammlung gefunden hast, glaube ich nicht.
(oder hast Du keine Formelsammlung für Abiturienten?)

Du schreibst oben, dass Du für

f'' (1)

einen negativen Wert ermitelt hast.

f'' (1) < 0

Was bedeutet das ?

foobarbaz aktiv_icon

23:43 Uhr, 12.10.2016

Hm vielleicht habe ich auch nicht gründlich genug recherchiert in der Formelsammlung (das große Tafelwalk, Formelsammlung für die Sekundarstufen I und II). Ich habe jetzt folgende Ergebnisse

- für

2 > x > 0

ist das Krümmungsverhalten konkav, da

f'' (x)

negativ ist,

f'' (1) = - \frac{2}{3}

- für

- 2 < x < 0

ist das Krümmungsverhalten konvex da

f'' (x)

positiv ist,

f'' (- 1) = \frac{2}{3}

- für

x > 2

ist das Krümmungsverhalten konvex da

f'' (x)

positiv ist,

f'' (3) = 3,024

- für

x < - 2

ist das Krümmungsverhalten konkav, da

f'' (x)

negativ ist,

f'' (- 3) = - 3,024

Ma-Ma aktiv_icon

23:57 Uhr, 12.10.2016

Deine Gedanken sind richtig.
Formulieren wir das noch etwas mathematischer und betrachten die Intervalle.

(1)

I = (0; 2) ... .

f'' (x) < 0 . .

. konkav (rechtsgekrümmt)
(2)

I = (2, \infty) . .

f'' (x) > 0 . .

. konvex (linksgekrümmt)

(3)

I = (- \infty; - 2) ...

.
(4)

I = (- 2; 0) . .

.

Hinweis: Für die Aussagen im Bereich(3)

x < - 2

und (2)

x > 2

wären noch die Berechnung von Extremstellen, (Sattelpunkt),Wendepunkt und Verhalten im Unendlichen

(!)

wichtig.
Erst dann können verbindliche Aussagen getroffen werden.

Ma-Ma aktiv_icon

00:08 Uhr, 13.10.2016

Fragen ?

foobarbaz aktiv_icon

00:10 Uhr, 13.10.2016

"Hinweis: Für die Aussagen im Bereich(3) x<−2 und (2)

x > 2

wären noch die Berechnung von Extremstellen, (Sattelpunkt),Wendepunkt und Verhalten im Unendlichen

(!)

wichtig.
Erst dann können verbindliche Aussagen getroffen werden."

Es gibt keine Extremstellen also auch keinen Sattelpunkt und der einzige Wendepunkt des Graphen ist

W (0 | 0)

. Wenn

x \to

unendlich und

x \to

-unendlich geht dann ist das in beiden Fällen 0. Was sagt das jetzt über

x < - 2

und

x > 2

aus?

Ma-Ma aktiv_icon

00:31 Uhr, 13.10.2016

Hast Du gut gemacht !

1)

Es gibt also nur einen Wendepunkt bei

W (0 | 0)

sowie die Polstellen bei

x = - 2

und

x = 2

.

2)"Was sagt das jetzt über

x < - 2

und

x > 2

aus?"
Weitere Wendepunkte, Extrempunkte, Sattelpunkte existieren nicht. Prima.

3)

Verhalten im Unendlichen berechnet, also gibt es bei

x < - 2

und

x > 2

nichts weiter zu beachten, die Funktion dort ist stetig und die Krümmung erfährt KEINE Änderung.

Jetzt kannst Du die Aussagen von

23 : 57

Uhr ergänzen.
Die Krümmung bei

x < - 2

und

x > 2

ändert sich nicht, da

2)

und

3)

gilt.

(Die Anforderungen für das Abiturniveau (Grundkurs) dürften damit erlegt sein.)

LG Ma-Ma

foobarbaz aktiv_icon

00:32 Uhr, 13.10.2016

Vielen, vielen Dank, dass Sie sich so viel Zeit genommen haben mir zu helfen bei der Aufgabe!

Ma-Ma aktiv_icon

00:33 Uhr, 13.10.2016

Bitte, bitte

. .

. Du warst aber auch sehr fleißig !

1327456

1327429

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?