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Kurvenscharfunktion 3. Grades

Schüler Gesamtschule, 11. Klassenstufe

Tags: 3.Grad, Kurvenschar, Nullstellen

 
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Raara

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19:07 Uhr, 02.05.2010

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Hallo Allerseits!!!:-)
Ich hoffe ihr könnt mir bei einer Aufgabe helfen, weil ich einfach nicht weiter komme damit:(

Gegeben ist die Funktion: x³-6x²+9x+k
Jetzt lautet die Aufgabe:

Welche Bedingung muss k erfüllen, damit die Funktion fk genau eine Nullstelle, genau zwei Nullstellen, genau drei Nullstellen besitzt.

Ich kenne es so, dass bei einer quadratischen Funkttion einem unbekannten Parameter, dass man zunächst die p-q Formel benutzt, damit man die Diskrminante hat.

Wenn also die Diskriminante größer als Null ist dann hat es zwei Nullstellen.
Wenn die Diskriminante =0 ist dann gibt es nur eine Lösung
Und wenn die Diskrminante kleiner als 0 ist dann gibt es keine Lösung

Da sie aber nur für eine quadratischen Funktion gilt, wüsste ich gerne,ob das auch für eine Fzunktion 3. Grades gilt und wenn nicht, ob mir das mal jemand sagen könnte wie es wirklich ist :-D)

Ich danke schon mal im Vorraus

LG
Raara

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
michael777

michael777 aktiv_icon

19:25 Uhr, 02.05.2010

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kleiner Tipp

die Funktion lässt sich umformen:
x(x-3)2+k

für k=0 gibts die beiden Nullstellen x=0 und x=3 (doppelte Nullstelle, Berührpunkt)

der Parameter k bewirkt eine Verschiebung des Schaubilds in y-Richtung

für k>0 ist das Schaubild nach oben verschoben, d.h. das Minimum liegt oberhalb der x-Achse, es gibt also nur noch eine Nullstelle
für k=-4 berührt das Schaubild mit dem Hochpunkt die x-Achse, auch hier gibts zwei Nullstellen

für -4<k<0 gibts drei Nullstellen, x-Achse verläuft zwischen den beiden Extrempunkten

für k<-4 gibts eine Nullstelle
Antwort
Ramanujan

Ramanujan aktiv_icon

19:34 Uhr, 02.05.2010

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Also :
fk(x)=x3-6⋅x2+9⋅x+k
f'k(x)=3⋅x2-12⋅x+9
Extrema bestimmen:
f'k(x)=0→0=3⋅x2-12⋅x+9
⇔0=x2-4⋅x+3
→x1;2=2±1
x1=3 ->y_1=k->Durch einsetzen in f''(x) folgt Tiefpunkt
x2=1→y2=4+k→ " " Hochpunkt
Nun einfach überlegen:
k<0→1 Nullstelle
k=0→2 Nullstellen
-4<k<0→3 Nullstellen
k=-4→2 Nullstellen
k<-4→1 Nullstelle
Frage beantwortet
Raara

Raara aktiv_icon

20:03 Uhr, 02.05.2010

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Vielen dank an euch beiden :-)
Das hat mir echt geholfen^^

@michael777: Deine Lösung war die einfachste zu verstehen und weniger aufwendig:-)

@Ramanujan: Ich hätte eigentlich auch selber auf dein Lösungsweg kommen können.
Ich musste nähmlich zusätzlich eine Kurvendiskussion der Funktion durchführen ohne die Nullstellen zu berechnen und ab der Berechnung der Extrempunkte hätte es mir auffallen müssen:-D) najaaa...