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Mehrdimensionale Integration durch Substitution

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Funktionaldeterminante, Integral, Integration, Mehrdimensional, Substitution, Transformationssatz

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Mathematikos

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23:55 Uhr, 13.10.2015

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Hallo, ich möchte folgendes Integral berechnen:

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} {(x + y)}^{2} e^{{(x + y)}^{2}} d (x, y)

Ich glaube nun, dass ich hier mit Substitution arbeiten muss allerdings weiß ich nicht wie. Ich kenne den Transformationssatz aber kann hier nicht erkennen, was was darstellen soll.
Für eine Hilfe für den ersten Schritt wäre ich dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Online-Nachhilfe in Mathematik

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

08:42 Uhr, 14.10.2015

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Einfache lineare Transformation

(x, y) \to (x, x + y)

, also

f (x, y) = (x, x + y) = : (x, z)

,
damit

\int (x + y)^{2} e^{(x + y)^{2}} d x d y = \int ∣ \det (f^{'} (x, y)) ∣ (x + y)^{2} e^{(x + y)^{2}} d x d y = \int z^{2} e^{z^{2}} d x d z

, weil

\det (f^{'} (x, y)) = 1

.

Und noch müssen die Grenzen angepasst werden. Dazu am besten ein Bild machen.

Mathematikos

Mathematikos aktiv_icon

17:42 Uhr, 14.10.2015

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Vielen Dank für die Antwort.
Eine Rückfrage habe ich zum Verständnis:

Wenn ich meine Funktion

g (x, y) = {(x + y)}^{2} e^{{(x + y)}^{2}}

und deine Funktion

f (x, y) = (x, x + y)

zur Substitution in den Transformationssatz reinwerfe, müsste ich doch

\int det (f' (x, y)) g (f (x, y)) d (x, y)

erhalten oder? Entspricht das dem Term in deiner Gleichung

\int det (f' (x, y)) {(x + y)}^{2} e^{{(x + y)}^{2}} d (x, y)

?

Ich erkenne das Muster glaube ich nicht so ganz, da doch

g (f (x, y)

in dem Fall nicht gleich

{(x + y)}^{2} e^{{(x + y)}^{2}}

ist?!

LG
Mathematik

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

18:36 Uhr, 14.10.2015

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Definiere

h (x, z) = z^{2} e^{z^{2}}

. Dann gilt

g (x, y) = h (f (x, y))

.
Und deshalb

\int z^{2} e^{z^{2}} d x d z = \int h (x, z) d x d z = \int h (f (x, y)) ∣ {\det f}^{ʹ} (x, y) ∣ d x d y = \int g (x, y) d x d y

, weil

{\det f}^{ʹ} (x, y) = 1

.

Frage beantwortet

Mathematikos

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16:30 Uhr, 23.10.2015

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Super vielen Dank! Jetzt ist es klarer!

LG
Mathematikos

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