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Mittelpunkt eines Kreises berechnen

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Tags: Kreis, Kreisbogen, Kreissehne, Mittelpunkt

Ramus86 aktiv_icon

16:22 Uhr, 29.05.2010

Hallo liebe Gemeinde.

Ich hätte gern gewusst wie die Formel des unteren Problems lautet,
da ich selber leider nicht drauf komme.

Erklärung:

Die

x, y

Koordinaten von

a, b

und

c

sind gegeben, folglich auch klein

m

was der Mittelpunkt der Sehne ist.

c

ist die Hälfte der Kreisbogenlänge.

Wie komme ich jetzt auf den Mittelpunkt des Kreises?
Wie lautet die Formel?

Danke im vorraus

Ramus86

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreise und Lagebeziehungen
Kreisteile: Berechnungen am Kreis
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

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Für was steht die Zahl

π

und was bringt sie mir?

anonymous

16:31 Uhr, 29.05.2010

{(x - c)}^{2} + {(y - d)}^{2} = r^{2}

die Drei pUnkte in die Gleichung einsetzen und Werte berechnen.

Ramus86 aktiv_icon

16:35 Uhr, 29.05.2010

Wahnsinn wie schnell die Antworten hier kommen.

Darf ich nochmal eine Rückfrage stellen...

Was bedeutet diese 2? Klammer Multipliziert mit 2?

anonymous

16:38 Uhr, 29.05.2010

hoch 2

Bsp:

{(a + b)}^{2} =

a^2+2ab+b^2

Ramus86 aktiv_icon

16:43 Uhr, 29.05.2010

Was ist

x

und y?

anonymous

16:48 Uhr, 29.05.2010

Die berechnete

x | y

Koordinate ist der Mittelpunkt des Kreises.

Ramus86 aktiv_icon

16:52 Uhr, 29.05.2010

Tut mir Leid aber je mehr ich mir die Gleichung anschaue desto weniger verstehe ich sie...

(x - c) 2 + (y - d) 2 = r 2

Was im einzelnen sind die Variablen

x, y

und

c, d

woher kommen die?
und was ist r?

anonymous

16:52 Uhr, 29.05.2010

Gib mal die 3 Punkte welche auf dem Kreis liegen an, dann zeige ich dir den kompletten Rechenweg.

Ramus86 aktiv_icon

16:56 Uhr, 29.05.2010

Ok nur ein Bsp.

a : x = 5, y = 6

b : x = 10, y = 11

c : x = 8, y = 9

anonymous

17:03 Uhr, 29.05.2010

Die3 Punkte liegen auf einer Graden. Ich benötige 3 Punkte die auf dem Kreis liegen!

Ramus86 aktiv_icon

17:04 Uhr, 29.05.2010

Ok einen Moment bitte...

dom0112 aktiv_icon

17:10 Uhr, 29.05.2010

Warum sollen die Punkte auf einer Geraden liegen? Durch a und

b

geht die lin. Fkt.

y = x + 1,

oder? Aber

8 + 1 \neq 15

. Oder irre ich mich?

Gruß
D.

dom0112 aktiv_icon

17:11 Uhr, 29.05.2010

oh, sorry. keine ahnung warum bei mir

15

stand...

Ramus86 aktiv_icon

17:18 Uhr, 29.05.2010

Ok um mein Problem Konkret zu schildern.

Ich mache gerade ein privates Fernstudium zum

C + +

Programmierer rein aus Interesse.
Da soll ich ein Programm schreiben das eben genau das ausrechnet.
Nur leider brauche ich die Formel dafür.

Ich habe nur leider kein konkretes Beispiel wo ich dir die

x, y

Koordinaten von

a, b

und

c

geben kann...

Tut mir Leid für die Umstände die ich dir mache Sam92. Hast du nicht ein Beispiel
für 3 Punkte?

Ps. und ich bin absolut kein Mathegenie wie man unschwer erkennen kann.

anonymous

17:25 Uhr, 29.05.2010

Klar habe eins

A = 2 | 1

B = 0 | 5

c = 10 | 5

{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2}

(x^{2}) + {(y - 5)}^{2} = r^{2}

III

{(x - 10)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = r^{2}

Ramus86 aktiv_icon

17:39 Uhr, 29.05.2010

Ich danke dir erstmal für die Ausdauer mir zu Helfen...

A = 2 | 1

B = 0 | 5

c = 10 | 5

(x - 2) 2 + (y - 1) 2 = r 2

(x 2) + (y - 5) 2 = r 2

III

(x - 10) 2 + (y - 5) 2 = r 2

also das

x

und das

y

sind unbekannt?
Also Mittelpunkt

x

und

y ...

und

r

ist was? der radius? den man dann hoch 2 nehmen muss?

anonymous

17:40 Uhr, 29.05.2010

Genau,

r

ist Radius des Kreises.

Ramus86 aktiv_icon

17:42 Uhr, 29.05.2010

Ok.

Also habe ich dann für jeden Punkt ein seperates Ergebnis.

Was muss man mit den 3 Ergebnissen machen um eine Mittelpunkt

x

und eine Mittelpunkt

y

Koordinate zu haben?

anonymous

17:46 Uhr, 29.05.2010

Jetzt hast du 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten die nach

x, y

und

r

aufgelöst werden können.

Ramus86 aktiv_icon

17:56 Uhr, 29.05.2010

Ich trau mich bald schon nichtmehr zu Schreiben, du gibts mir das Ergebnis aber ich verstehe es trotzdem nicht.

Also das Ergebnis von Gleichung I ist was? die

x

Koordinate vom Mittelpunkt?
und die anderen 2? II und III...

Also um es Bildlicher darzustellen.

Die pinken kleinen 4ecke sind

a, b

und

c .

Das graue 4 eck:

Der Drehpunkt des grauen 4ecks ist sein eigener Mittelpunkt.
Nun soll der Drehpunkt des 4ecks so verändert werden das er auf dem Weg zum
letzten pinken 4eck (auf der

y

achse, grüne Linie) alle kleinen 4ecke einmal berührt hat.
Da diese 3 pinken 4ecke einen Kreisbogen bilden, muss ich den Mittelpunkt dieses Kreises ermitteln

(x, y),

um den Drehpunkt des grauen 4ecks auf eben diesen Mittelpunkt

x

und Mittelpunkt

y

setzen zu können.

Man kann sich das vorstellen wie ein Schaf(4eck) an einen Pfosten(Mittelpunkt) gebunden mit einer Leine. Das Schaf läuft immer nur mit strafgezogener Leine. Wo muss der Pfosten hingesetzt werden ( Mittelpunkt

x, y)

dom0112 aktiv_icon

18:53 Uhr, 29.05.2010

Ich schlage mal eine alternative Vorgehensweise vor. Die Lösung des Gleichungssystems ist sicher machbar, aber bestimmt nicht einfach zu programmieren...

Also:
Man kann die Strecke Cm (von

C

bis Sehnenmittelpkt.) ausrechenen (euklidische Distanz). Diese sei

h

.
Man kann die Strecke AB ausrechnen. Die nennen wir

s

.
Damit kann man den Radius des Kreises ausrechnen (Formel in de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment ). Dieser sei

r :

r = \frac{4 h^{2} + s^{2}}{8 h}

So. Die Punkte

C

und

m

definieren eine Gerade:

\vec{x} = \vec{C} + λ (\vec{m} - \vec{C})

(\vec{C}

und

\vec{m}

sind einfach die zu

C

und

m

gehörenden Ortsvektoren). Auf dieser Gerade liegt auch der Punkt

M

(dein gesuchter Mittelpunkt). Und zwar findet man den bei

λ = \frac{r}{h} (λ = 1

entspricht der Strecke von

m

bis

C)

.

Ich hoffe das stimmt einigermaßen... ;-)

Gruß
D.

Ramus86 aktiv_icon

19:22 Uhr, 29.05.2010

Vielen Dank für Deine mühen!

ok um Schritt für Schritt zu Arbeiten.

Also

r = 4 h 2 + s 28 h

berechnet die länge des Radiuses?

4 h 2 . . :

also

h

ist die Strecke von

m

bis

C

richtig?
und wie muss ich mir diese schreibweise dann vorstellen?

4 h 2 ∴

(4

hoch

h)

hoch 2 ?

dom0112 aktiv_icon

19:25 Uhr, 29.05.2010

Du scheinst Probleme mit der Darstellung der Formeln zu haben. Vielleicht solltest du als Browser den Firefox verwenden (ist sogar kostenfrei). Die Formel findest du an der angegebenen Wikipedia-Adresse unter "Radius"

Ramus86 aktiv_icon

19:28 Uhr, 29.05.2010

Ja scheint so :-).

Aber ich frage mich immernoch wie kommst du auf die 4 bzw auf die

28

?

Ah moment, jetzt sehe ich was
nicht

28

sondern

(s

hoch2)

/ 8 h

dom0112 aktiv_icon

19:31 Uhr, 29.05.2010

Ok, also die Formel heißt "(4 mal

(h

hoch

2)

plus

(s

hoch

2))

geteilt durch

(8

mal h)"

Ramus86 aktiv_icon

19:35 Uhr, 29.05.2010

Ja wahnsinn jetzt gehts voran ;-)

jetzt weiß ich auch was

4 h

heist

: (4 \cdot h)

längeR

= (4 \cdot (h

hoch

2) + (s

hoch

2)) : (8 \cdot h)

also die 4 und die 8 sind fixe zahlen bei der radiusberechnung?

dom0112 aktiv_icon

19:36 Uhr, 29.05.2010

genau!

Ramus86 aktiv_icon

19:38 Uhr, 29.05.2010

Und wie lautet die umgeschriebene Formel nun um aus dem Wert von längeR den Mittelpunkt zu ermitteln? Also

x

und

y

dom0112 aktiv_icon

19:42 Uhr, 29.05.2010

Vektor

x =

Vektor

C

plus

k

mal (Vektor

m

minus Vektor

C)

Ramus86 aktiv_icon

19:47 Uhr, 29.05.2010

also Vektor

x

erhält den wert der gleichung? und woher ist k?

dom0112 aktiv_icon

19:54 Uhr, 29.05.2010

k

ist der Parameter der "läuft".

Nehmen wir mal konkrete Werte. Sei

A = (1; 1)

und

B = (2; 3),

also zwei Punkte in der Ebene. Man kann Punkte immer als Ortsvektoren, also Pfeile, die im Ursprung "kleben" und auf den Punkt zeigen, auffassen. Dann kann man eine Vektorgleichung aufstellen, die die Gerade durch die Punkte beschreibt:

(x; y) = A + k \cdot (B - A) = (1; 1) + k \cdot (2 - 1; 3 - 1) = (1; 1) + k \cdot (1; 2)

Durch Variation des

k

(aus den reellen Zahlen) kann man jeden Punkt auf der Geraden "ansteuern".
Immer gilt:

k = 0

führt zu A und

k = 1

zu B. Ein

k

zwischen 0 und 1 führt zu einem Punkt zwischen A und

B

und analoges gilt für außerhalb

hagman aktiv_icon

19:56 Uhr, 29.05.2010

*seufz* Machen wir das mal dicht:

Gegeben seinen

(x_{A}, y_{A}), (x_{B}, y_{B}), (x_{C}, y_{C}),

die nicht kollinear sind.
Gesucht ist der Mittelpunkt

(x, y)

und der Radius

R

des Umkreises dieses Dreiecks.
Wie oben angedeutet, haben wir deshalb die Gleichungen

(1) {(x_{A} - x)}^{2} + {(y_{A} - y)}^{2} = R^{2}

(2) {(x_{B} - x)}^{2} + {(y_{B} - y)}^{2} = R^{2}

(3) {(x_{C} - x)}^{2} + {(y_{C} - y)}^{2} = R^{2}

Eleiminieren wir

R,

indem wir jeweils zwei Gleichungen subtrahieren bzw. einfach die Ausdrücke für

R^{2}

gleichsetzen:

(4) {(x_{A} - x)}^{2} + {(y_{A} - y)}^{2} = {(x_{B} - x)}^{2} + {(y_{B} - y)}^{2}

(5) {(x_{A} - x)}^{2} + {(y_{A} - y)}^{2} = {(x_{C} - x)}^{2} + {(y_{C} - y)}^{2}

Alle Quadrate ausmultiplizieren:

(4') x_{A}^{2} - 2 x_{A} x + x^{2} + y_{A}^{2} - 2 y_{A} y + y^{2} = x_{B}^{2} - 2 x_{B} x + x^{2} + y_{B}^{2} - 2 y_{B} y + y^{2}

(5') x_{A}^{2} - 2 x_{A} x + x^{2} + y_{A}^{2} - 2 y_{A} y + y^{2} = x_{C}^{2} - 2 x_{C} x + x^{2} + y_{C}^{2} - 2 y_{C} y + y^{2}

Alles schön sortieren:

(4'') 2 (x_{A} - x_{B}) \cdot x + 2 (y_{A} - y_{B}) \cdot y = x_{A}^{2} - x_{B}^{2} + y_{A}^{2} - y_{B}^{2}

(5'') 2 (x_{A} - x_{C}) \cdot x + 2 (y_{A} - y_{C}) \cdot y = x_{A}^{2} - x_{C}^{2} + y_{A}^{2} - y_{C}^{2}

C + +

kann man sowas ja prima mit dem Determinantenverfahren lösen:
double A11=xa-xb, A12=ya-yb, A21=xa-xc, A22=ya-yc;
double B1=A11*(xa+xb)+A12*(ya+yb), B2=A21*(xa+xc)+A22*(ya+yc);
double

D = 2 ⋆ (A 11 \cdot A 22 - A 21 \cdot A 12),

Dx=B1*A22-B2*A12, Dy=A11*B2-A21*B1;
double x=Dx/D, y=Dy/D;

Ramus86 aktiv_icon

20:11 Uhr, 29.05.2010

Vielen Dank jetzt ist mir einiges klar!
Den Rest schaff ich auch allein.. naja welcher Rest...

Ich Danke euch für eure Mühen!

Und ich sollte vorher ein Mathestudium absolvieren bevor ich mit

C + +

weiter mache.

Also danke nochmals :-)

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